DERIVATION Taux d’accroissement d’une fonction

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1 DERIVATION Taux d’accroissement d’une fonction
Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Approche graphique :coefficient directeur de la tangente . Approche numérique :Approximation d’une augmentation en pourcentage par exemple.

2 Taux d’accroissement Dans le cas d’une fonction « discrète » : mesure d’une population, mesure d’un chiffre d’affaires ,mesure d’une production…la valeur : mesure une variation moyenne

3 Evolution d’une production
Année:x 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Production:P 944 1065 1137 1232 1231 1297 1322 1333 1368 1408 1423

4 Evolution donne l’évolution moyenne par année sur une période de 10 ans de la production. TAUX D’ACCROISSEMENT DE LA FONCTION P MAIS NON PAS UN TAUX AU SENS ECONOMIQUE Le rapport :

5 Taux d’accroissement Dans le cas d’une fonction continue ce nombre mesure le coefficient directeur de la droite (AB) quand A et B sont deux points de la courbe représentative de f : A (a,f (a)) et B(b,f (b))

6 Vitesse Moyenne Le vitesse moyenne se mesure par le taux d’accroissement de la fonction qui donne la position d’un mobile en fonction du temps .

7 De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée
Un mobile se déplace de façon rectiligne en fonction du temps Sa position est donnée par f tel que f(t)=2t²+1 exprimé en mètres , pour t exprimé en secondes compris entre 0 et 100 .

8 Vitesse instantanée Passage « à la limite » de la vitesse moyenne en calculant et en faisant tendre h vers 0 Dans cet exemple on montre que la limite est égale à 4t pour toute valeur de t

9 De la sécante à la tangente
Le coefficient directeur de la sécante tend vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a quand le point B « s’approche » de A sur la courbe .

10 Approximation Une somme S augmente successivement de t % . Cette somme est donc multipliée par (1+x )² en posant t/100=x . On montre numériquement et graphiquement que multiplier S par (1+x)² revient à multiplier S par 1+2x quand x est suffisamment « petit »

11 Nombre dérivé d’une fonction f en a
Définition par la limite quand h tend vers 0 de: Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a . ( approximation affine)

12 fonctions dérivées Fonctions dérivées des fonctions de référence :
Fonctions dérivées d’une somme , d’un produit , d’un quotient Application: Calcul de dérivées de fonctions polynômes de degré au plus 3 et de fonctions rationnelles

13 Applications Lien entre signe de dérivée et variations
de fonctions sur un intervalle : Recherche d’extremum Utilisation de la monotonie pour résoudre des équations du type f(x)=k Recherche de valeurs approchée avec méthode par dichotomie ou par balayage à pas fixé (autre approche du problème de résolution d’équation session 2002 Amérique du sud)

14 Applications Résolution de problèmes : situations simples
Problèmes cinématiques Géométriques Économiques (coût, bénéfice , coût moyen, offre et demande ..)