EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

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1 EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

2 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES I - INTRODUCTION

3 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à laide des suites géométriques …..

4 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES La population dun village diminue de 5% par an. Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants. Combien comptera-t-il dhabitants lorsquil repassera le 15 juin 2005 ? On a placé le 1 er janvier 2005 la somme de 1000 sur un livret rapportant 3,5% dintérêts (composés) par an. De quelle somme pourra-t-on disposer le 1 er mars 2008 ? Par exemple:

5 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Une interpolation linéaire est possible, mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

6 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 12345678 1 Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 En rouge : les points représentant les valeurs des termes de la suite dindices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui lencadrent. En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite. Lerreur commise devient rapidement importante

7 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES II – CONSTRUCTION DUNE FONCTION EXPONENTIELLE

8 Dans le projet de document daccompagnement: « les suites sont un cas particulier de fonctions. » « La représentation graphique des suites pose la question : faut-il relier les points ? Cette question peut être soumise aux élèves, et le professeur leur fera découvrir que la réponse est non pour deux raisons : - les nombres réels autres que les entiers naturels nont pas d'image ; - il y a une infinité de fonctions interpolant une suite donnée. Ce problème de linterpolation est dailleurs une question importante dans les sciences appliquées » « On veillera à établir le lien entre la suite n a n et la fonction x a x. Les fonctions exponentielles fournissent un modèle continu là où les suites géométriques fournissent un modèle discret. »

9 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive La démarche est expérimentale. Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières dun réel strictement positif q

10 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Lalgorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur les deux résultats suivants : Théorème 1: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs dune suite arithmétique si et seulement si b est la moyenne arithmétique de a et de c (cest-à-dire )

11 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Lalgorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur les deux résultats suivants : Théorème 2: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs dune suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométrique de a et de c (cest-à-dire )

12 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 12345O u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique dune suite géométrique: -pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui lentourent -pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui lentourent Le point intermédiaire admet : Illustration:

13 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Exemple: Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 Outils: tableur et grapheur

14 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 12345O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ère étape: Points à abscisses entières

15 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2 ème étape: Points à abscisses de la forme

16 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2 ème étape: 12345O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

17 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3 ème étape: Points à abscisses de la forme et

18 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3 ème étape: 12345O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

19 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Sachant que, on peut compléter le graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison. On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

20 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES -5-4-3-212345O 1 2 3 4 5 6 7 8 On peut répéter le processus pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

21 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

22 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Cet ensemble de points suggère la courbe dune fonction. On admet que cette fonction existe et est unique Cest la fonction ou fonction exponentielle de base 1,5

23 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES III – PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

24 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction Les propriétés suivantes sont admises : Les fonctions sont définies et dérivables sur R. Pour tout réel x, est strictement positif. Pour tous réels x et y, Pour tout réel x,

25 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Remarques: Lexpression de la dérivée des fonctions exponentielles, lallure des courbes ainsi que leur comportement à linfini ne font pas partie des objectifs du programme. On constatera le sens de variation à partir détudes expérimentales. Létude du cas q = e nest pas au programme.