MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Seizième cours ACT Cours 16

2 Rappel: Annuité dont les paiements forment une suite arithmétique
Annuité croissante Annuité décroissante Annuité dont les paiements forment une suite géométrique ACT Cours 16

3 Rappel: Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de l’intérêt. Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusqu’au dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. ACT Cours 16

4 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
Rappel: Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 16

5 La valeur actuelle est alors
Rappel: La valeur actuelle est alors ACT Cours 16

6 Rappel: La valeur accumulée à la fin de la ne période (au dernier paiement) de cette annuité formant une suite arithmétique est ACT Cours 16

7 Rappel: Annuité croissante:
Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en additionnant 1$ avec chaque paiement. Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = 1 et Q = 1 (selon nos notations précédentes) ACT Cours 16

8 Annuité croissante: (suite)
Rappel: Annuité croissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par ACT Cours 16

9 Annuité croissante: (suite)
Rappel: Annuité croissante: (suite) Nous obtenons et ACT Cours 16

10 Annuité décroissante:
Rappel: Annuité décroissante: Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de n dollars et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en soustrayant 1$ avec chaque paiement. Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = n et Q = -1 (selon nos notations précédentes) ACT Cours 16

11 Annuité décroissante: (suite)
Rappel: Annuité décroissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par ACT Cours 16

12 Annuité décroissante: (suite)
Rappel: Annuité décroissante: (suite) Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos formules précédentes que et ACT Cours 16

13 Annuité en progression géométrique:
Rappel: Annuité en progression géométrique: Considérons une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements forment une progression géométrique de raison (1 + k), où k > -1, c’est-à-dire les paiements sont obtenus en multipliant successivement le paiement précédent par (1 + k) . ACT Cours 16

14 Annuité en progression géométrique: (suite)
Rappel: Annuité en progression géométrique: (suite) Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le second est de (1 + k) dollars, le troisième est de (1 + k)2 dollars et ainsi de suite. Le me paiement est de (1 + k)(m - 1) dollars. Le dernier paiement est de (1 + k)(n - 1). ACT Cours 16

15 Annuité en progression géométrique: (suite)
Rappel: Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 16

16 Annuité en progression géométrique: (suite)
Rappel: Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur actuelle L est ACT Cours 16

17 Annuité en progression géométrique: (suite)
Rappel: Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 16

18 Annuité en progression géométrique: (suite)
Rappel: Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur accumulée X est ACT Cours 16

19 Rente perpétuelle en progression arithmétique
Considérons une rente perpétuelle dont les paiements sont faits en fin de période, le premier paiement est de P dollars et avec chaque paiement, nous additionnons Q dollars. Ici P et Q sont plus grand ou égaux à 0. Notons par L la valeur actuelle de cette rente perpétuelle ACT Cours 16

20 Rente perpétuelle en progression arithmétique
Nous avons le diagramme suivant: ACT Cours 16

21 Rente perpétuelle en progression arithmétique
Alors nous obtenons que ACT Cours 16

22 Exemple 1: Arlette a accumulé un capital de $ avec lequel elle veut acheter une rente perpétuelle dont le paiement à la me année est de mR dollars. Ces paiements sont faits à la fin de l’année et le premier paiement est fait à la fin de la première année. Déterminer R si le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt de 5% par année. ACT Cours 16

23 Exemple 1: (suite) Dans ce cas, P = R et Q = R.
L’équation de valeur à t = 0 est ACT Cours 16

24 Exemple 1: (suite) Dans ce cas, P = R et Q = R.
L’équation de valeur à t = 0 est Donc R = 238,10$. ACT Cours 16

25 Rente perpétuelle en progression géométrique
Considérons une rente perpétuelle dont les paiements sont faits en fin de période, le premier paiement est de 1 dollars et avec chaque paiement, nous multiplions par (1 + k). Notons par L la valeur actuelle de cette rente perpétuelle. ACT Cours 16

26 Rente perpétuelle en progression géométrique
Nous avons le diagramme d’entrées et sorties: ACT Cours 16

27 Rente perpétuelle en progression géométrique
Nous avons ACT Cours 16

28 Exemple 2: Bernard veut acheter une rente perpétuelle dont les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Les paiements mensuels de la 1ère année sont de 1 000$ et ces paiements sont indexés de 2% avec chaque année. Déterminons la valeur actuelle de cette rente si le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé à tous les mois. ACT Cours 16

29 Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est 6%/12 = 0,5%. Nous avons le diagramme: ACT Cours 16

30 Exemple 2: (suite) Les 12 paiements mensuels de la me année sont 1000(1,02)m-1. Nous pouvons regrouper ces 12 paiements en un seul paiement annuel: Nous obtenons alors une rente dont les paiements forment une rente perpétuelle en progression géométrique. ACT Cours 16

31 Exemple 2: (suite) Il nous faut déterminer le taux effectif d’intérêt par année équivalent au taux nominal d’intérêt i(12) = 6%. Ce taux sera i = 6, %. Aussi k = 2%. Donc c’est-à-dire que L = ,33$. ACT Cours 16

32 CHAPITRE VI Taux de rendement
ACT Cours 16

33 Nous décrirons deux situations:
le taux de rendement anticipé d’un projet d’investissement le taux de rendement réalisé dans un fonds d’investissement. ACT Cours 16

34 Supposons qu’un investisseur engage les dépenses et gagne des recettes dans le cadre d’une transaction financière ou encore d’un projet, alors nous noterons par R0, R1, R2, ... , Rn les recettes nettes (= recettes brutes moins les dépenses) initiale et pour les 1ère, 2e, ... , ne périodes. P(i) désignera la somme des valeurs actuelles des recettes nettes au taux i. ACT Cours 16

35 P(i) est une fonction de i et nous supposerons que i > -1.
Pour un i donné, P(i) peut être positif, nul ou négatif. Le taux de rendement de la transaction est le taux d’intérêt i pour lequel P(i) = 0. ACT Cours 16

36 Exemple 3: Zénon développe un nouveau produit sur 7 ans. Il déboursera les dépenses et gagnera les recettes brutes suivantes: Année Dépenses Recettes brutes Recettes nettes 10 000 1 5 000 2 3 000 2 000 3 4 1 500 7 500 6 000 5 1 200 9 200 8 000 6 1 000 9 000 7 500 7 000 ACT Cours 16

37 Exemple 3: (suite) Donc Le graphe de P(i) est ACT Cours 16

38 ACT Cours 16

39 En utilisant l’algorithme de Newton-Raphson ou encore une calculatrice financière (par exemple BA-II Plus), nous obtenons que le taux de rendement est i = 15,588973% ACT Cours 16

40 Dépenses Recettes brutes Recettes nettes 10 000 -10 000 1 21 500 2
Rien ne nous assure de l’unicité du taux de rendement. Par exemple, si nous considérons la transaction suivante Année Dépenses Recettes brutes Recettes nettes 10 000 1 21 500 2 11 544 ACT Cours 16

41 Donc Le graphe de P(i) est ACT Cours 16

42 ACT Cours 16

43 Dans cet exemple, il y a deux taux d’intérêt i pour lesquels P(i) = 0, à savoir i = 4% et i = 11%.
Nous allons maintenant donner un critère qui fait en sorte que le taux de rendement est unique. Ceci est une conséquence de la règle des signes de Descartes. ACT Cours 16

44 P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0,
Règle des signes de Descartes: Soit un polynôme de degré n en x: P(x) = anxn + an-1xn a1 x + a0, où an non nul. Alors le nombre de racines réelles positives de P(x), en tenant compte des multiplicités, est plus petit ou égal au nombre de changement de signes de la sous-suite des coefficients non-nuls de la suite: an, an-1, ... , a2, a1, a0. De plus ce nombre de racines réelles positives a la même parité que le nombre de changement de signe mentionné ci-dessus. ACT Cours 16

45 P(x) = x4 - 2x3 - 3x2 + 8x - 4 = (x - 1)2(x + 2)(x - 2)
Exemple 4: Considérons le polynôme P(x) = x4 - 2x3 - 3x2 + 8x - 4 = (x - 1)2(x + 2)(x - 2) Nous devons considérer la suite: 1, -2, -3, 8, -4 et il y a 3 changements de signes. Il y a 3 racines réelles positives: 1, 1, 2 (en tenant compte des multiplicités). ACT Cours 16

46 Conséquence: Si, dans une transaction financière, il existe un entier m tel que toutes les recettes nettes Rt ont le même signe pour t plus petit ou égal à m et ont le signe opposé pour t > m, alors le taux de rendement est unique. En effet, il y a exactement un seul changement de signes. Il existe d’autres critères pour l’unicité du taux de rendement. Nous vous référons aux notes de cours. ACT Cours 16

47 Analyse au moyen du taux de rendement:
Supposons que R0 < 0 et Rn > 0 dans ce qui suivra. Si le taux de rendement est unique et négatif, alors les recettes brutes sont strictement inférieures aux dépenses, (l’investisseur perd de l’argent). Si le taux de rendement est unique et nul, alors les recettes brutes sont égales aux dépenses. Si le taux de rendement est unique et positif, alors les recettes brutes sont strictement supérieures aux dépenses, (l’investisseur gagne de l’argent). ACT Cours 16

48 Exemple de réinvestissement:
Alice prêt à Balthazar $. Ce dernier a trois options pour rembourser ce prêt. Dans la première option, Balthazar rembourse Alice en faisant un seul paiement après 4 ans. Dans le deuxième option, Balthazar paie l’intérêt à chaque année pendant 4 ans et remet le $ à la fin de la quatrième année Dans la troisième option, Balthazar fait 4 versements égaux à la fin de chaque année pendant 4 ans. ACT Cours 16

49 Exemple de réinvestissement: (suite)
Le taux d’intérêt du prêt est de 9% par année peu importe l’option avec laquelle Balthazar remboursera son prêt. Alice réinvestit les versements de Balthazar au taux d’intérêt de 7% par année. Déterminons le taux de rendement pour Alice de cette transaction pour chacune des options. ACT Cours 16

50 Exemple de réinvestissement: (suite)
Option 1: Le flux financier pour Alice est où X est le montant remboursé par Balthazar. ACT Cours 16

51 Exemple de réinvestissement: (suite)
Ici X = (1,09)4 = ,54 P(i) = ,54(1 + i)-4. Nous cherchons i1 tel que P(i1) = 0. Nous obtenons facilement que i1 = 9% par année. ACT Cours 16

52 Exemple de réinvestissement: (suite)
Option 2: Le flux financier pour Alice est où X est le montant accumulé par le réinvestissement des paiements d’intérêt par Balthazar et le $. ACT Cours 16

53 Exemple de réinvestissement: (suite)
Les paiements annuels d’intérêt sont 25000(0,09) = 2250$. Ces paiements sont réinvestis à 7%. Nous avons le diagramme. ACT Cours 16

54 Exemple de réinvestissement: (suite)
Ainsi nous obtenons que Donc P(i) = ,87(1 + i)-4. Nous cherchons i2 tel que P(i2) = 0. Nous obtenons facilement que i2 = 8,76786% par année. ACT Cours 16

55 Exemple de réinvestissement: (suite)
Option 3: Le flux financier pour Alice est où X est le montant accumulé par le réinvestissement des paiements de remboursement du prêt par Balthazar. ACT Cours 16

56 Exemple de réinvestissement: (suite)
Si R désigne le paiement annuel fait par Balthazar, nous avons l’équation Ces paiements sont réinvestis au taux de 7% par année. Nous avons le diagramme suivant pour le réinvestissement. ACT Cours 16

57 Exemple de réinvestissement: (suite)
Donc ACT Cours 16

58 Exemple de réinvestissement: (suite)
Donc P(i) = ,80(1 + i)-4. Nous cherchons i3 tel que P(i3) = 0. Nous obtenons facilement que i3 = 8,19758% par année. ACT Cours 16

59 Exemple de réinvestissement: (suite)
Nous avons ici que i3 < i2 < i1 , parce que l’effet du réinvestissement à 7% par année se fait plus sentir pour l’option 3 que pour l’option 2. Notons aussi qu’il n’y a aucun réinvestissement dans la première option. ACT Cours 16

60 Exemple 6: Reprenons l’exemple précédent. Quel est le taux d’intérêt qu’Alice doit demander sur le prêt à Balthazar dans chacune des options 2 et 3 pour obtenir un taux de rendement de 9% par année comme dans la première option? Dans le cas de la deuxième option, notons par i : le taux d’intérêt recherché. Alors à la fin de chaque année, Alice recevra 25000i dollars qu’elle réinvestira. ACT Cours 16

61 Exemple 6: (suite) Le montant accumulé par le réinvestissement et le paiement de 25000$ est Comme nous voulons un taux de rendement de 9% par année, nous obtenons facilement l’équation ACT Cours 16

62 Exemple 6: (suite) Donc i = 9,2699751% par année.
Si nous considérons maintenant l’option 3 et que nous notons aussi le taux d’intérêt recherché par i. Alors le versement annuel pour rembourser le prêt sera ACT Cours 16

63 Exemple 6: (suite) Ces paiements sont réinvestis à 7% par année. Après réinvestissement et parce que nous voulons un taux de rendement de 9%, nous avons ACT Cours 16

64 Exemple 6: (suite) Ceci est équivalent à l’équation
Donc i = 10, % ACT Cours 16