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SE500 Loriette – Pellan - Sarrazin
Partage de secret SE500 Loriette – Pellan - Sarrazin
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Plan de la présentation
Problématique Première idée Problématique générale Définitions Cas trivial et cas particuliers Blakley Shamir Loriette - Pellan - Sarrazin
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Problématique On veut stocker un secret (ex : code de lancement des missiles) Si ce secret est perdu, on veut pouvoir le retrouver Loriette - Pellan - Sarrazin
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Première idée Approches naïves Séparer la clé en k parties Ex : ab---- ; --cd-- ; ----ef Problème d’intégrité : 1 partie perdue, plus de clé Dupliquer k fois la clé Problème de sécurité : tout le monde peut lancer les missiles Loriette - Pellan - Sarrazin
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Problématique générale
n dépositaires reçoivent chacun une information différente. On souhaite que, si un groupe quelconque de k dépositaires parmi les n dépositaires mettent en commun leurs informations, ils puissent retrouver la donnée secrète. En revanche, un groupe de moins de k dépositaires ne doit rien pouvoir apprendre de la donnée secrète avec les informations dont ils disposent. K est le seuil Loriette - Pellan - Sarrazin
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« sécurisé » ou « insécurisé »
Un partage de secret est dit sécurisé si quelqu’un possédant moins de 𝑘 clés n’a pas plus d’informations que quelqu’un en ayant 0 On ne gagne pas d’information à connaitre 𝑚+1 clés au lieu de 𝑚, si 𝑚<𝑘 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Sécurité théorique Un crypto-système est théoriquement sûr si sa sécurité provient uniquement de la théorie de l’information. Une puissance de calcul infinie n’aide pas à casser le système. Si l’attaquant n’a pas assez d’informations, le système est cryptanalytiquement inviolable. Loriette - Pellan - Sarrazin
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Définitions Minimal : Les clés et le secret ont une taille du même ordre Dynamique : Il est facile de garder le même secret avec d’autres jeux de clés Flexible : Possibilité de distribuer plusieurs clés à la même personne pour lui donner plus d’importance Extensible : Pour 𝑘 fixé on peut faire varier 𝑛 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Cas trivial 𝑘=1 Le secret est distribué aux 𝑛 personnes
Loriette - Pellan - Sarrazin
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Cas particulier XOR 𝑛 = 𝑘 Solution simple et efficace : XOR (OU exclusif) 011⊕010⊕100=101 Loriette - Pellan - Sarrazin
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XOR Sécurisé Sécurité théorique
Propriétés Sécurisé Sécurité théorique Minimal : Les clés et secret ont la même taille Dynamique Flexible Loriette - Pellan - Sarrazin
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Partage de Blakley George Blakley Cryptologue, mathématicien
Historique George Blakley Cryptologue, mathématicien Professeur Etatsunien Invention en 1979 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Partage de Blakley Principe général 2 droites non parallèles se coupent en 1 unique point 3 plans non parallèles se coupent en 1 unique point 𝑛 hyperplans non parallèles 2 à 2 de dimension 𝑛−1 se coupent en 1 unique point Loriette - Pellan - Sarrazin
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Partage de Blakley Construction On définit le secret comme une coordonnée de la solution d’un système linéaire de n équations à k inconnues Les 𝑛 équations doivent être indépendantes 2 à 2 On distribue à chacun une équation Si on utilise plusieurs coordonnées pour le secret, quelqu’un ayant des clés aura plus d’informations sur le secret que quelqu’un n’en ayant aucune. Utiliser 1 coordonnée revient à devoir appliquer une projection pour trouver le secret. Sans hyperplan, on sait que le secret se trouve sur une droite, avec m hyperplans m<k on sait toujours que le secret est sur une droite. Loriette - Pellan - Sarrazin
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Partage de Blakley Exemple en 2 dimensions Exemple 𝑥 est la clé : 𝑛=3 et 𝑘=2 𝑥+2𝑦=10 2𝑥+5𝑦=23 3𝑥+𝑦=15 𝑥 ;𝑦 =(4 ;3) Loriette - Pellan - Sarrazin
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Partage de Blakley Sécurisé (si le secret est une coordonnée)
Propriétés Sécurisé (si le secret est une coordonnée) Sécurité théorique Extensible Dynamique Flexible Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Adi Shamir (1952) Cryptologue, mathématicien
Historique Adi Shamir (1952) Cryptologue, mathématicien Professeur Israelien Co-Inventeur de RSA Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Construction Basé sur le fait qu’il faut : 𝑘 points pour trouver un polynôme de degré 𝑘−1 Le secret est 𝑎 0 , le degré du polynôme est publique On choisit aléatoirement les coefficients 𝑎 𝑖 𝑖∈ ℕ ∗ du polynôme 𝑃 𝑋 = 𝑎 0 + 𝑖=1 𝑘−1 𝑎 𝑖 × 𝑋 𝑖 On prend 𝑛 points 𝑥 𝑖 ;𝑃 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 ≠0 qui seront les clés partagées, des entiers pour éviter les problèmes de précision Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Prérequis mathématiques Le polynôme de Lagrange 𝐿 𝑋 = 𝑗=0 𝑛 𝑦 𝑖 𝑙 𝑖 𝑋 tel que 𝑙 𝑖 𝑋 = 𝑗=0,𝑗≠𝑖 𝑛 𝑋− 𝑥 𝑗 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 est l’unique polynôme de degré au plus 𝑛 qui vérifie 𝐿 𝑥 𝑖 = 𝑦 𝑖 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir On calcule les polynômes de base de Lagrange 𝑙 𝑖 𝑋
Reconstruction de la clé On calcule les polynômes de base de Lagrange 𝑙 𝑖 𝑋 On calcule le polynôme final et on retrouve ainsi 𝑎 0 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Quelques problèmes Attaque en réécrivant les polynômes avec les clés et en les combinant pour obtenir des intervalles contenants les coefficients du polynôme d’origine Gain d’informations en récupérant d’autres clés : on peut réduire les intervalles de recherche pour une attaque par force brute Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Quelques problèmes On a 𝑆=1234 et 𝑃 𝑥 = 𝑥+94 𝑥 2 On a 2 clés 𝐷 0 = 1 ;1494 et 𝐷 1 = 2 ;1942 𝑃 𝑥 =𝑆+ 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 Donc 1494=𝑆+ 𝑎 1 + 𝑎 2 et 1942=𝑆+2 𝑎 1 +4 𝑎 2 𝑎 1 =448−3 𝑎 2 ≥0 On remplace 𝑎 2 par 0, 1, 2, … on a alors 𝑎 2 ∈[0;149] 𝑆= 𝑎 2 ⇒𝑆∈[1046;1344]150 nombres Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Résolution du problème Soit 𝑝 premier et publique tel que 𝑝>𝑆 et 𝑝>𝑛 Les clés seront 𝑥 𝑖 ;𝑃 𝑥 𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝 ne doit être trop : Petit : 𝑆∈ 0 ;𝑝 Grand : plus de chances d’avoir 𝑃 𝑥 𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑝=𝑃 𝑥 𝑖 On ne saura pas quand s’arrêter pour les valeurs de 𝑎 2 Loriette - Pellan - Sarrazin
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Polynômes de Shamir Sécurisé Sécurité théorique
Propriétés Sécurisé Sécurité théorique Minimal : Les clés ont une taille proche de celle du secret Extensible Dynamique Flexible Loriette - Pellan - Sarrazin
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Sources Wikipédia : 9_secr%C3%A8te_de_Shamir ng Loriette - Pellan - Sarrazin
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Merci de votre attention
Questions ? Merci de votre attention
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