Etude de deux estimateurs a posteriori pour la méthode X-FEM Soutenue par : Raphaël ALLAIS 1 9 novembre 2012 Soutenance de thèse de doctorat Directeur.

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1 Etude de deux estimateurs a posteriori pour la méthode X-FEM Soutenue par : Raphaël ALLAIS 1 9 novembre 2012 Soutenance de thèse de doctorat Directeur de thèse : P. Catraud Encadrant : G. Legrain

2 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 2 Introduction I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM Conception des produits : Incertitudes sur les grandeurs Erreurs de modélisation Erreurs d’approximation Sources des écarts Erreurs de mise en œuvre Performances Attendues (besoin) Performances simulées (prédictions) Performances Réelles (résultat) Ecarts  Nécessité de prévoir le comportement  Ecarts entre les différentes étapes de conception  Différentes sources d’écarts. Erreurs d’approximation

3 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Mise en place du problème I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM Formulation forte : Formulation faible : 3 Modélisation d’un solide Equation de la chaleur : Loi de Fourier : Conditions de Neumann : Conditions de Dirichlet : Trouvertel que :

4 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Approximation de la solution I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 4 Méthode des éléments finis étendus (X-FEM) [Belytschko et al., 1999][Moës et al., 1999] Méthode des Level-set [Osher et al., 1988][Stolarska et al., 2001]  Indépendance (partielle) de la géométrie et du maillage. Solution X-FEM : Méthode des éléments finis : Espace d’approximation Géométrie Maillage

5 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Problématique I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 5 Nécessité d’estimer et de maîtriser cet écart. De nombreuses méthodes en éléments finis classiques. Quelques méthodes adaptées dans le cadre X-FEM. Problématique : Proposer des estimateurs d’erreur dans le cadre X-FEM. Erreur d’approximation.

6 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Sommaire I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 6 I)Généralités sur les estimateurs II)Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III)Maillages adaptatifs quadtree IV)Conclusion générale

7 7 I)Généralités sur les estimateurs II)Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III)Maillages adaptatifs quadtree IV)Conclusion générale Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Sommaire I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

8 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 8 Objectif :  Estimer l’écart entre- la solution exacte : - la solution approchée : (Norme en énergie) Estimation d’erreur I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM Erreur globale :Sur l’ensemble du domaine. Erreur locale : Sur un sous-domaine (élément).

9 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Famille d’estimateurs I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 9 Estimateurs sur la régularité de la solution : [Zienkiewicz et al., 1987] Estimateurs sur le résidu d’équilibre : Estimateurs sur la relation de comportement : [Ladevèze, 1975]  Substitution de l’erreur exacte par une solution lissée.  Calcul de deux solutions « CA » et « SA » et mesure de l’écart sur la relation de comportement. Familles d’équation

10 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Famille d’estimateurs I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 10 Estimateurs sur le résidu d’équilibre : [Babuska et al., 1978] Estimateurs sur la régularité de la solution Estimateurs sur la relation de comportement En posant :, alors est solution du problème : Trouver tel que :  recherché dans un espace d’approximation plus riche que. Familles d’équation

11 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 11 Familles d’estimateurs … MEFX-FEM … en régularité de la solution ZZ [Zienkiewicz et al, 1987] SPR/SPR-C [Zienkiewicz et al, 1992] [Rodénas et al., 2007] MSL [Belytschko et al., 1994] [Tabbara et al., 1994] XGR [Duflot et al., 2008] SPR-X/SPR-CX [Rodénas et al., 2010] XMLS [Bordas et al., 2008] … en relation de comportement [Ladevèze, 1975] [Coorevits et al., 1998] [Panetier et al., 2010] … en résidus d’équilibre Explicites [Babuska et al, 1978] Implicites [Demkowicz et al., 1984] [Huerta et al., 2000] [Babuska et al., 1978] [Parés et al., 2006] Explicites [Lleras et al., 2007] [Hild et al., 2009] [Gerasimov et al., 2012] Implicites [Pannachet, 2006] [Strouboulis et al., 2006] Récapitulatif sur les estimateurs d’erreur I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

12 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Sommaire I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 12 I)Généralité sur les estimateurs II)Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III)Maillages adaptatifs quadtree IV)Conclusion générale

13 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Deux estimateurs d’erreur pour X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM Estimateur d’erreur sur les bases hiérarchiques Estimateur d’erreur « flux-free » 13

14 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 14 Principe : Déterminer tel que :  Estimateur d’erreur sur bases hiérarchiques [Bank et al., 1992][Cavin, 2006] I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM Méthode 1Méthode 2

15 Décomposition du résidu : Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Estimateur d’erreur Flux-Free [Parés et al., 2006] I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 15 Patch ω I :

16 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Estimateur d’erreur Flux-Free [Parés et al., 2006] I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 16 … Reconstruction du champ d’erreur : Reconstruction d’un champ d’erreur flux-free Calculs par patch :

17 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 17 Projection du champ-test : Projection nodale sur linéaire … 1 2 n = × × × Projection du second membre [Parés et al., 2006] I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

18 18 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Cas éléments finis Cas X-FEM Cas d’applications I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

19 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Application au cas éléments-finis « classiques » I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 19 Problème de conduction thermique T y x Propriété sur l’erreur flux-free : [Parés et al., 2006] Sous-estimationSur-estimation 01+∞ Etude globale : Indice d’efficacité : Etude locale : Indice d’efficacité déviée : [Babuska et al., 1994][Rodénas et al., 2007] Sous-estimationSur-estimation -∞0+∞ Propriété sur l’erreur en résidu : [Huerta et al., 2000]

20 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Eléments finis : résultats globaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 20 1/H

21 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Eléments finis : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 21 Carte d’erreur absolue Carte d’efficacité - hiérarchique Carte d’efficacité – flux-free

22 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Application au cas X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 22 Domaine troué Interface matériaux Fissures

23 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 23 Gestion des patches en flux-free Intégration limitée au domaine Solution exacte : Aspect théorique : Problème des patches à faible fraction de matière = Augmentation du degré d’interpolation Domaine troué I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

24 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Domaine troué : résultats globaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 24 1/H

25 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Domaine troué : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 25 Carte d’efficacité (Hiérarchique) Carte d’erreur

26 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Domaine troué : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 26 Carte d’efficacité (Flux-free – Degré 1) Carte d’efficacité (Flux-free – Degré 2)

27 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Application au cas X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 27 Domaine troué Interface matériaux Fissures

28 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interface entre matériaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 28 Solution exacte  Fonction d’enrichissement à gradient discontinu X-FEM Fonction de Ridge [Moës et al., 2003]

29 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interfaces matériaux : résultats globaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 29 1/H

30 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interfaces matériaux : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 30 Carte d’erreur Carte d’efficacité (Hiérarchique)

31 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interfaces matériaux : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 31 Carte d’efficacité (estimateur flux-free)

32 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interfaces matériaux : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 32 2 nd membre Non-projeté Degré 1 Support Ridge Fin Projeté 1 Fin Non-projeté 1 Grossier Non-projeté 2 Fin ∈ [-0.8 ; 0.0] ∈ [-1.0 ; 0.0] ∈ [-0.8 ; 0.0] ∈ [-0.2 ; 0.2]

33 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Application au cas X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 33 Domaine troué Interface matériaux Fissures

34 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Interfaces matériaux : résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 34 Solution exacte X-FEM Enrichissement en pointe de fissure : [Fleming et al., 1997][Moës et al., 1999] Enrichissement de la discontinuité : [Moës et al., 1999]  Blocage de 2 DDL

35 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Enrichissement en pointe de fissure I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 35 Enrichissement topologique [Moës et al., 1999] Enrichissement géométrique [Béchet et al., 2005]

36 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Fissures : Résultats globaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 36 Sans enrichissementEnrichissement topologiqueEnrichissement géométrique Sans enrichissementEnrichissement topologique Enrichissement géométrique

37 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Fissures : Résultats locaux I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM HiérarchiqueFlux-free Flux-free (Projeté) Hiérarchique Flux-free Flux-free (Projeté) 37 Non-enrichi : Enrichissement topologique :

38 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Fissures : Résultats pour l’enrichissement géométrique I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 38 Hiérarchique Flux-free Flux-free (Projeté) Sur-estimation

39 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Fissures : Résultats pour l’enrichissement géométrique I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 39 Flux-free (Projeté) ≈ avec : 1) 2) Erreur faible (~10 -7 ) Carte des conditionnement des patches Carte d’erreur absolue 3)

40 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Fissures : Orthogonalisation de la base d’enrichissement I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 40 Condition de Dirichlet sur un DDL éléments finis classique ET un DDL enrichis. Utilisation d’un préconditionneur [Béchet et al., 2005]. Orthogonalisation de la base d’enrichissement par rapport à la base éléments finis. [Babuska et al., 2011]

41 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Conclusion sur les deux estimateurs I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 41 Fissures : Domaines troués : Flux-free :Raffinement h-p pour les patches à faible fraction de matière. Interfaces entre matériaux: légère sous-estimation sur l’interface, Pas d’influence du support d’enrichissement, Interpolation quadratique plus efficace. Enrichissement topologique : Efficacité supérieure à la théorie Flux-free : - Mauvais conditionnement des patches sur l’enrichissement géométrique - Orthogonalisation de la base d’enrichissement

42 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Sommaire I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 42 I)Généralité sur les estimateurs II)Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III)Maillages adaptatifs quadtree IV)Conclusion générale

43 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Maillage adaptatif I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 43 Estimateur d’erreur  optimiser le maillage Modélisation X-FEM  utilisation de maillage structuré

44 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Maillage octree/quadtree I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 44 Exemple de maillage quadtree

45 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Nœuds orphelins (hanging nodes) I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 45 Cellules voisines de niveaux différents : Modification des fonctions de forme : [Legrain et al., 2011] [Fries et al., 2000] Fonctions de formes :

46 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Avec nœuds orphelinsSans nœud orphelin 46 Cas d’une fissure I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

47 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Sommaire I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 47 I)Généralité sur les estimateurs II)Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III)Maillages adaptatifs quadtree IV)Conclusion générale

48 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Récapitulatif I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM 48 Deux estimateurs d’erreur a posteriori Estimateur sur les bases hiérarchiques : Résultats cohérents Robuste Simple à mettre en œuvre Coût en temps de calcul important Estimateur flux-free Estimation locale de l’erreur Résidu simple à calculer (projection) Performance dépendant de la nature de l’enrichissement Maillage adaptatif Utilisation de maillage quadtree. Gestion des nœuds orphelins : Conditions imposées pour assurer la continuité du champ X-FEM. Cohérence avec les maillages dépourvus de nœuds orphelins.

49 49 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS Application au maillage adaptatif I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

50 Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 50  Application au cas 3D - Identique sur le plan théorique, mise en œuvre à étudier  Etude des blending-elements.  Etude des erreurs en quantité d’intérêt  Application à la mécanique - Problèmes d’unicité de la solution Perspectives I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM

51 Merci de votre attention