Présentation de Séminaire

Présentation au sujet: "Présentation de Séminaire"— Transcription de la présentation:

1 Présentation de Séminaire
Présentation de Séminaire. Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés sur architecture distribuée. Réalisation d’une étude des différents algorithmes d’inversion de grands systèmes linéaires creux sur architecture distribuée Compagnie générale de géophysique le 21 mars 2005.

2 Problématique Chaque ligne de la matrice A correspond à une contrainte sur la solution. Régularisation du problème par filtrage numérique. CGG 21 mars 2005

3 Méthode d’étude Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés.
Recensement des techniques utilisées pour l'inversion proprement dite. ( algorithmes et préconditionnement). Méthodes choisies pour l’optimisation: algorithmes et évaluation. Préparation du stage et de l’implémentation d’une méthode choisie, tests des librairies. CGG 21 mars 2005

4 Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés.
Une problématique ouverte quoique ancienne. Enjeux de la mises en oeuvre Prcédé l’Arnoldi, de génération d’une base de Krylov orthonormale =>lanczos récurrences courtes pour matrices symétriques => CG. Impossibilité de trouver un algorithme optimal et général. CGG 21 mars 2005

5 Recensement des techniques utilisées pour l'inversion proprement dite.
Méthodes directes Méthodes itératives préconditionnement CGG 21 mars 2005

6 Méthodes directes CGG 21 mars 2005

7 Méthodes directes Méthodes directes. factorisation de Cholesky .
Factorisation QR . Factorisation LU. Enjeu? Parallélisation des méthodes préconditionnement CGG 21 mars 2005

8 Méthodes directes Méthodes multifrontales Factorisation LU . Un schéma
Une équation correspondante: CGG 21 mars 2005

9 Factorisation QR 3 algorithmes, 3 utilisations
A=QR, QTQ=Idm R triang. Sup. 3 algorithmes, 3 utilisations Orthogonalisation. Résolution directe. Préconditionnement. CGS MGS Factorisation de Householder et Givens Un choix dépendant du cas d’utilisation. CGG 21 mars 2005

10 Méthodes directes Avantages des méthodes directes Inconvénients
robustesse. Inconvénients taille du problème. parallèlisation. Adaptées aux problèmes structurés. Nécessité de se tourner vers d’autres algorithmes? CGG 21 mars 2005

11 Méthodes itératives CGG 21 mars 2005

12 Méthodes itératives Méthodes itératives: Difficultés:
Approximations successives de la solution. Difficultés: Se ramener à un système carré. Se ramener à un système symétrique, voire défini positif CGG 21 mars 2005

13 Résoudre un système symétrique:
Les gradients conjugués. Méthode de Lanczos: construction d’une base de Krylov. L’algorithme du gradient conjugué correspond à l’itération k à la minimisation de J(u)=1/2(Au,u)-(b,u) sur u1+Kk CGG 21 mars 2005

14 Rendre système symétrique:
L’équation normale: ATA= ATb => conditionnement carré matrice pleine de grande taille Système associé: Meilleure approche? CGG 21 mars 2005

15 Résolution du système associé: LSQR
Appliquer l’algorithme de Lanczos au système ainsi formé Réduction à une forme bidiagonale, Et résolution par factorisation QR. CGG 21 mars 2005

16 LSQR et CG sur l’équation normale
Un même conditionnement. Des propriétés numériques différentes. Complexité algorithmique: LSQR: 2 pdts A.u 4 C.L. de vecteurs/ itération CGG 21 mars 2005

17 Résoudre un système carré non symétrique: gmres
Bonne robustesse générale. Informations sur la matrice de résolution en tomographie. Vitesse de convergence. Bonne documentation sur la parallèlisation. Peu de cas d’utilisation en tomographie Complexité algorithmique m+1 pdts scalaires, m+1 c.l. , 1 pdt A.vi CGG 21 mars 2005

18 Résoudre un système carré non symétrique: gmres
Construction de la base de l’espace de Krylov Km(A,r0)=Vect(Ak.r0), k<m Par factorisation QR. Projection du résidu CGG 21 mars 2005

19 Deux autres possibilités
BiCGSTAB Qualité de parallèlisation Peu d’espace mémoire requis Convergence lente 4 Pdts scalaires, 6 C.L., 2 pdts A.u QMR Calculs avec la transposée Bonne robustesse 2 pdts scalaires, 12 C.L., 2 pdts A.u CGG 21 mars 2005

20 Méthodes Choix dune méthode ? CGG 21 mars 2005 Nom de la méthode
convergence Parallelisation. robustesse EN 1 ++ ? Minres LSQR +++ QMR + CG CGS - Bi-CG Bi-CGStab Bi-CGstab(l) Gmres Derivées de gmres gmresR CGG 21 mars 2005

21 Conclusion sur les méthodes itératives
4 méthodes restantes QMRCGSTAB BiCGSTAB(l) Gmres LSQR Nécessité de tests de convergence. Le plsu important est le nombre d’itérations rapportées aux Operations de base pour evaluer l efficacité parallèle. CGG 21 mars 2005

22 Parallélisation des opérations de base
Acces parindex Codage par blocs de A Overlapping Partitionner l’hypergraphe de la matrice. CGG 21 mars 2005

23 Parallélisation des opérations de base
Stockage, accès aux données. Produits matrice vecteur. Produits scalaires, ovelapping Minimiser les communications Acces parindex Codage par blocs de A Overlapping Partitionner l’hypergraphe de la matrice. CGG 21 mars 2005

24 préconditionnement CGG 21 mars 2005

25 préconditionnement mauvais conditionnement du système.
Nécessité d’améliorer la convergence. Résoudre le système M-1A.x=y Mesure la capacité de M à approximer A CGG 21 mars 2005

26 Préconditionneurs parallèles
Préconditionneurs simples. SOR, BJ: séries de Neumann: M=I+B où A=I-B CGG 21 mars 2005

27 Factorisations incomplètes.
ILU Par algorithme multigrille. QR incomplète CIMGS, ILQ. CGG 21 mars 2005

28 Librairies existantes
CGG 21 mars 2005

29 Librairies existantes
Partitionnement de graphes pour minimiser les communications. Inversion par méthodes directes ou indirectes avec préconditionnement. Étude exhaustive impossible. Umfpack pARMS P-sparselib Scalapack Pastix CGG 21 mars 2005

30 Stage CGG 21 mars 2005

31 Stage Tests de convergence des méthodes sur les matrices de tomographie. Choix de la méthode en fonction des capacités de parallèlisation. Test des librairies parallèles. implémentation CGG 21 mars 2005