La construction du nombre en maternelle

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1 La construction du nombre en maternelle

2 Textes et ressources Nouveau programme Bulletin officiel spécial n°2 du 26 mars 2015 CANOPE Lecture accompagnée des programmes Documents d’accompagnement EDUSCOL Futurs documents d’accompagnement (disponible ?)

3 De 2008 à 2015… 2008 Découvrir le monde 2015
Construire les premiers outils pour structurer sa pensée : - Découvrir les nombres et leurs utilisations - Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées Explorer le monde : - Se repérer dans le temps et dans l’espace - Explorer le monde du vivant, des objets et de la matière

4 Découvrir les nombres et leurs utilisations
Construire le nombre pour exprimer une quantité Stabiliser la connaissance des petits nombres Construire les premiers savoirs et savoir-faire avec rigueur : - Acquérir la suite orale des nombres - Ecrire les nombres avec des chiffres - Dénombrer

5 Les attendus du programme 2015
Etudier le nombre Utiliser le nombre Lien : document complémentaire – Programmes et vocabulaire

6 Etudier les nombres Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale , la nature des éléments Avoir compris que tout nombre s’obtient en ajoutant un au nombre précédent Quantifier des collections jusqu’à dix au moins par manipulations effectives ou mentales composer , décomposer Dire combien il faut AJOUTER ou ENLEVER pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix Parler des nombres à l’aide de leur décomposition Dire la suite des nombres jusqu’à trente Lire la suite des nombres jusqu’à dix

7 Utiliser les nombres ● Evaluer et comparer des collections avec des procédures numériques et avec des procédures non numériques ● Réaliser une collection dont le cardinal est donné ● Utiliser le dénombrement : - Pour comparer deux quantité - Pour constituer une collection de taille donnée - Pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée ● Mobiliser des symboles pour communiquer des informations orales ou écrites sur une quantité : - Symboles analogiques, oraux ou écrits - Conventionnels ou non

8 6 points de vigilance Eviter le comptage numérotage Construire progressivement l’itération de l’unité Travailler la composition et la décomposition des nombres Proposer des activités de comparaison et de production de collections de même cardinal Acquérir la suite orale des mots nombres Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position

9 POUR EN SAVOIR PLUS : Les compétences mathématiques du bébé
Dès la naissance • Contrairement à ce que pensait Piaget, les récentes recherches en Neurosciences nous montrent que les bébés seraient capables, dès la naissance, de : Distinguer des quantités Réagir à la modification d’une petite quantité à laquelle il est habitué Réagir si l’ajout ou le retrait d’un élément ne correspond pas à ce qu’il attend Discriminer des quantités à condition de limiter l’effet de taille (petites quantités) et l’effet de distance (quantités pas trop rapprochées) POUR EN SAVOIR PLUS : Les compétences mathématiques du bébé « mon cerveau à l’école »

10 Lors de l’entrée à l’école maternelle,
Les enfants sont capables: de discriminer des petites quantités (un, deux, trois) notamment lorsqu’elles forment des configurations culturellement connues (dominos, dés) d’énoncer les débuts de la comptine numérique (ce qui ne traduit pas forcément une véritable compréhension des quantités et des nombres) POUR EN SAVOIR PLUS : Le cerveau calculateur Stanislas Dehaene

11 Un nombre… qu’est ce que c’est?
Un nombre est un CONCEPT, une notion fondamentale permettant : d’évaluer et de comparer des quantités ou des mesures, mais aussi d’ordonner ou nommer des éléments par une numérotation.

12 Les trois aspects du nombre (cf document vocabulaire)
CARDINAL : nombre d’éléments d’un ensemble. Ex : 11 coureurs à pied ORDINAL : rang / position d’un élément dans un ensemble. Ex : le onzième coureur NOMINAL: désignation / identification d’un élément dans un ensemble Ex : le dossard 11 Il est indispensable de traiter ces 3 aspects dès l’école maternelle

13 Un chiffre… qu’est ce que c’est?
Un chiffre est un caractère utilisé pour l'écriture d'un nombre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sont les chiffres. L'erreur la plus fréquente est de confondre le chiffre avec le nombre Analogie avec lettre / mot : il existe des nombres de 1 chiffre, comme il existe des mots de 1 lettre (à, y, l’…). .

14 Le système français présente des particularités qui le rendent particulièrement difficile à acquérir. Premièrement, la base dix qui structure le système n'apparaît pas immédiatement avec la première dizaine. Deuxièmement le nombre de chiffres limité impose un recours à la numérotation positionnelle pour coder les puissances de 10 Troisièmement l’organisation régulière des dénominations verbales jusqu’à 69 devient irrégulière à partir de 70.

15 ATTENTION: désigner des quantités ne passe pas toujours par des mots nombres.
De quelle manière un enfant de maternelle peut-il répondre à la question suivante, sans utiliser de mots nombres: « Chaque personnage aura-t-il un chapeau ? »

16 Il peut réaliser un appariement entre les chapeaux et les personnages en utilisant la correspondance terme à terme. Il vérifiera ainsi que les deux collections sont équipotentes sans avoir besoin de savoir combien il y a de chapeaux ou de personnages.

17 Certains insulaires du Détroit de Torres ( Nord Australie) dénotent les nombres en indiquant du doigt un endroit précis de leur corps

18 Ce que nous apprend la recherche en imagerie médicale
Proximité spatiale entre les zones impliquées dans les compétences perceptivo-tactiles et les zones impliquées dans la représentation des nombres. Importance du sillon intra-pariétal dans le traitement des nombres. Lésion de la partie postéro-inférieure du lobe pariétal gauche (syndrome de Gerstmann / perte du sens du nombre / du sens de l’espace / des doigts et de l’écriture / Dyscalculie).

19 Compter sur ses doigts Michel Fayol et son équipe partent ainsi de l’hypothèse que compter sur ses doigts serait une étape nécessaire dans l’apprentissage du calcul. Ils considèrent que cela pourrait jouer un rôle crucial dans la phase non verbale de l’approche de la quantité chez le jeune enfant. Les doigts permettraient d’abstraire, d’établir une analogie entre les quantités et ce qu’ils représentent et de manipuler des quantités.

20 Le corps comme outil de calcul
Stanislas Dehaene dans, La bosse des maths (2004) pense que l’invention de la syntaxe des nombres est une simple extension du langage corporel. Stella Baruk, dans son livre, Comptes pour petits et grands, pense que cette utilisation des mains permet de « mentaliser » le nombre. Siegler et Robinson en 1982 ont montré que les « fingers strategies » (utilisation des doigts sans comptage) sont plus rapides que le comptage.

21 REPRESENTATIONS ANALOGIQUES ou NOMBRES FIGURAUX
= collections, collections témoins REPRESENTATIONS ORALES = codes oraux comptine numérique, mots-nombres dits REPRESENTATIONS ECRITES = codes écrits =mots-nombres *en lettres *en chiffres Chaque domaine devra donc être travaillé avec les élèves en parallèle puis, dans un deuxième temps seront travaillées les relations entre ces différentes représentations.

22 Les recherches récentes en Neurosciences nous présentent, pour expliquer ces différentes représentations, LE MODELE DU TRIPLE CODE : Cette théorie postule que chaque type de représentation est impliqué dans un traitement numérique particulier.

23 Différentes représentations analogiques ou nombres figuraux

24 Stella Baruk

25 Deux concepts fondamentaux du Nouveau Programme
pour aider les élèves à comprendre ce qu’est un nombre : La décomposition L’itération de l’unité

26 La décomposition En fin de GS, les élèves doivent savoir «  parler des nombres à l’aide de leur décomposition » Pour un nombre comme pour tout autre « objet », le connaître, c’est pouvoir le comparer avec d’autres, le suivre dans ses transformations, le saisir, le mesurer, le composer et le décomposer à volonté. Ferdinand Buisson 1880 (Directeur de l’enseignement du ministre Jules Ferry)

27 COMPRENDRE UN NOMBRE c’est savoir comment il est composé en plus petits que lui et savoir l’utiliser pour en composer de plus grands. Exemple: comprendre le nombre 8, c’est avoir compris que: pour construire une collection de 8 unités, on peut ajouter 1 à une collection de 7, 3 à une collection de 5; on peut réunir deux collections de 4, on peut enlever 2 unités à une collection de 10

28 L’itération de l’unité
C’est une propriété liée à la connaissance du concept de décomposition. «  Les élèves doivent comprendre que toute quantité s’obtient en ajoutant UN à la quantité précédente ( ou en enlevant UN à la quantité supérieure) et que sa dénomination s’obtient en avançant de un dans la suite des noms de nombres ou de leur écriture avec des chiffres. » Les élèves doivent comprendre qu’en ajoutant une nouvelle unité à une collection de 5, le nombre change et donc que le nouveau nom de ce nombre est différent de 5 : on l’appelle 6. Et ce nouveau mot est le successeur de 5 dans la suite des nombres.

29 Quelle progression ? En PETITE SECTION:
privilégier la compréhension des 3 premiers nombres En MOYENNE SECTION: privilégier la compréhension des 5 premiers nombres En GRANDE SECTION: privilégier les décompositions 5+n, les doubles et l’itération de l’unité

30 Quels objectifs entre 2 et 4 ans ?
Stabiliser la connaissance des petits nombres jusqu’à 5 en : - Recomposant et décomposant les nombres - Travaillant la reconnaissance des constellations du dé - Travaillant l’expression d’une quantité avec les doigts de la main - Aidant les élèves à utiliser la correspondance terme à terme avec une collection dont le cardinal est connu - Estimer et comparer de manière perceptive des quantités (beaucoup…,pareil…) Produire une collection de même cardinal qu’une autre Acquérir la suite orale des nombres jusqu’à 5/6. Dénombrer : découvrir que le dernier mot-nombre énoncé correspond à la quantité totale d’ objets de la collection

31 Quels objectifs après 4 ans ?
Mêmes objectifs qu’avant 4 ans mais en allant un petit peu plus loin: - Stabiliser les petits nombres jusqu’10. - Mettre en lien les différentes représentations du nombre (écrite, orale, analogique) - Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position (définir un sens de lecture) - Acquérir de la suite orale des mots-nombres jusqu’à 30

32 Lire et écrire des nombres en chiffres progressivement :
dans des situations concrètes quand il est nécessaire de mémoriser et/ou de communiquer ce nombre dans le cadre d’un apprentissage rigoureux des tracés - Dénombrer : comprendre que toute quantité s’obtient en AJOUTANT un à la quantité précédente ou en ENLEVANT un à la quantité supérieure comprendre que la dénomination de la quantité s’obtient en avançant de 1 dans la suite des nombres ou dans leur écriture chiffrée

33 En PS, la conceptualisation des 3 premiers nombres est essentielle pour l’avenir mathématique de l’élève NB: il se passe en moyenne 1 année entre le moment où les enfants savent que les mots « deux » et « trois » se réfèrent à des quantités et celui où ils connaissent exactement lesquelles) On pourra considérer que cette conceptualisation sera effective lorsque l’élève sera capable de constituer une collection de 3 objets en : cumulant un, un et encore un. par comptage en décomposant : 2 et 1, ça fait…1et 2… Lien vers vidéo Album123, R. Brissiaud (source : académie de Toulouse – circonscription de Montauban)

34 L’enfant commence par :
élaborer l’idée de quantité: pareil / pas pareil- beaucoup / pas beaucoup comparer des quantités: correspondance terme à terme ou appariement apprendre les premiers éléments de la comptine numérique orale (à 5 ou 6) utiliser les doigts, pointer des objets comptés ou afficher une quantité dénombrer de petites quantités, créer mentalement les unités, les énumérer et les totaliser L’apprentissage sera essentiellement oral à ce moment de la scolarité

35 En moyenne section Evolution des procédures de comparaison de deux quantités (estimation, image mentale, recours à des collections intermédiaires…) Evolution du vocabulaire (plus que/ moins que / autant que se mettent en place) Valorisation de l’utilisation des doigts (affichage direct ou dénombrement un à un) Comptine orale jusqu’à 15 Usage de la suite orale des nombres pour dénombrement de collections > 4 Confrontation à la suite écrite (calendrier…) Initiation à la résolution de problèmes (être confronté à une question identifiée, élaborer une réponse, verbaliser ses procédures, utiliser des écritures provisoires)

36 En grande section Le nombre devient un outil de contrôle des quantités. (garder la mémoire d’une quantité, s’assurer qu’un partage est équitable, rapporter juste ce qu’il faut…) Comptine orale jusqu’à 30 (comptage en avant, arrière, à partir d’un autre nombre que 1, jusqu’à un nombre donné) Le nombre devient un outil pour dénombrer (aspect ordinal du nombre) Mise en relation des désignations orales et écrites des nombres (élaboration progressive d’une bande numérique par l’enfant) Travail sur la résolution de problèmes permettant d’anticiper le résultat d’une action (pas d’utilisation des signes +, -, =) L’essentiel consiste à comprendre que ces problèmes peuvent être résolus par les nombres.

37 Lien vidéo tour d’appel pour illustrer une situation rituelle
Situations dans lesquelles le nombre sera rencontré à l’école maternelle: Des situations rituelles : répétitions quotidiennes par nécessité, par convention sociale ou par jeu proposé par les élèves ou par l’enseignant. Des situations fonctionnelles : problèmes posés par la réalité de la classe ou par son environnement. Des situations construites : scénario élaboré par l’enseignant à des fins d’apprentissage précises. Lien vidéo tour d’appel pour illustrer une situation rituelle Pour aller plus loin: ERMEL, GS- apprentissages numériques-Hatier/ Situations d’apprentissages numériques, Thierry Dias

38 Cette situation doit être:
Sollicitante : pour que l’élève agisse, investisse le milieu qui lui est proposé. Ouverte : pour que l’élève investisse ses procédures personnelles mais puisse aussi en trouver d’autres (sauf dans le cadre des activités d’exercice en GS, ex : réglettes cuisenaire - toutes les manières de faire 4) Spécifique : pour que l’élève reconnaisse l’activité mathématique en tant que telle à travers la situation qui lui est proposée. En résumé: une situation d’apprentissage pertinente est celle qui permet des « allers et retours » successifs entre l’élève et le milieu, avec étayage de l’enseignant.

39 Modalités d’apprentissage
Chaque moment de la journée peut être l'occasion de mettre en place des situations mathématiques : – Accueil : jeux de société (dominos, cartes, jeu de l'oie, petits chevaux...) – Regroupement : comptage des élèves (présents, absents, filles, garçons...) – Au cours des activités rituelles (date, calendrier, bande numérique...) – Pendant les activités motrices (récupération de matériel, distribution, répartition en équipes égales...) – Pour des activités fonctionnelles ou de vie pratique (situations de vie de classe, rangement, distribution... ≠ école/maison) – En ateliers (didactiques ou satellites) – En attendant de quitter la classe (jeux, comptines...)

40 Un exemple: les jeux de société
• des jeux de déplacements Troc à 4; la souricière; les chapeaux; le défi des Schtroumpfs… • des jeux de dénombrements La course aux canards; je fais des courses; 1,2,3, souris halte-là; Mystero... • des jeux où le nombre est mémoire d’une quantité Les fromages; chats et souris… • des jeux permettant de passer du dénombrement au comptage Les pommiers, clown… • des jeux pour connaître l’ordre des nombres Course aux valises… des jeux pour décomposer les nombres Halli Galli…

41 Les utilisations du nombre
Communiquer des informations orales et écrites sur une quantité. Mémoriser une quantité. Evaluer et comparer des collections d’objets. Réaliser une collection dont le cardinal est donné ou égal à une autre collection. Partager une collection. Désigner un rang, une position et les comparer.

42 Un impératif :MANIPULER
La manipulation est fondamentale pour l’enfant – Elle répond à un besoin de sensorialité. – Elle permet de communiquer sur le canal sensoriel privilégié par chaque élève. – Elle canalise l’attention et centre cette attention sur ce qui constitue l’essentiel de l’apprentissage, à savoir l’élaboration de concepts. – Elle le libère de la plupart des tâches annexes. – Elle offre la possibilité d’expériences nombreuses, du fait de la rapidité des actions engagées. Un exemple en vidéo : la marchande (source : académie de Toulouse – circonscription de Montauban)

43 Deux autres concepts fondamentaux
Comparaison de 2 procédures de comptage Comptage numérotage Comptage dénombrement Il s’agit de pratiques et d’habitudes bien ancrées. Cette procédure est aussi valorisée dans les familles. Procédure à privilégier et à enseigner pour permettre aux élèves de comprendre la construction du nombre. Cas où les objets sont déplaçables : Cas où les objets sont non-déplaçables : Penser à utiliser un cache ! Problème : Dans ce cas, on ne sait pas forcément à quoi correspond le mot nombre énoncé. S’agit-il : - du nom donné au Xième objet ? - de la position, du rang de l’objet ? - de la quantité déjà comptée qui prend en compte les objets déjà comptés ? Avantages : Ici, le mot nombre prononcé correspond à un tout, à une quantité visible. L’itération de l’unité est rendue visible. Images extraites de l’ouvrage Premiers pas vers les maths – Rémi BRISSIAUD

44 Le développement de la suite numérique verbale (4 niveaux d’élaboration ) K.Fuson
L’acquisition de la comptine numérique se réalise selon différentes étapes: Le niveau chapelet  Le niveau chaîne insécable  Le niveau chaîne sécable  Le niveau chaîne terminale 

45 Le niveau chapelet : à ce niveau, l’enfant, vers 3 ans récite la suite verbale comme une enfilade de sons (« undeuxtrois »), ces derniers n’ayant aucune individualité et signification arithmétique. L’enfant égrène la suite numérique au même titre que la récitation des jours de la semaine ou d’une poésie. Le niveau chaîne insécable : vers 3/4 ans, l’enfant comprend que la séquence se compose de mots individualisés ( = premier pas dans l’acquisition du concept de cardinalité)

46 Le niveau chaîne sécable :
A partir de 5 ans et contrairement au niveau précédent, l’enfant est capable de compter quel que soit le point de départ. Le niveau chaîne terminale : Dans ce dernier stade, le nombre est traité comme une entité distincte ce qui permettra à l’enfant de commencer à dénombrer de petites quantités .

47 DENOMBRER signifie littéralement « extraire le nombre de »
Une des méthodes pour dénombrer est le COMPTAGE, c’est–à–dire l’utilisation de la chaîne orale de un en un (« un ; deux ; trois ; ... ») pour déterminer le cardinal d’une collection (un ensemble d’objets). Pour arriver à dénombrer, la connaissance de la comptine numérique ne suffit pas. Le dénombrement fait appel à plusieurs concepts et compétences qui doivent être acquis par l’élève.

48 La collection Une collection est un regroupement d’objets provoqué par un critère de fonctionnalité, un critère défini par un caractère commun, un critère généré par une circonstance. Le concept de collection est un concept préalable (constitutif) du concept de nombre comme mémoire d’une quantité. La collection n’est pas quelque chose de donné ou d’inné, c’est quelque chose qui se construit. On compte pour…

49 Mise en garde concernant le travail sur fiche
L’acte grapho-moteur étant en cours d’acquisition, le travail sur fiche : absorbe de l’énergie provoque des productions lentes et laborieuses limite le nombre d’exercices à un temps donné augmente le risque d’oubli de la consigne

50 De plus, l’emplacement des éléments portés sur la feuille n’étant pas modifiable, cela impose à l’élève un balayage visuel systématique, des acrobaties graphiques et rend difficile le contrôle méthodologique de l’avancement de la tâche. La représentation plane est inconnue des élèves, la représentation plane d’objets généralement tridimensionnels obéit à des contraintes conventionnelles rarement explicitées : Impressions visuelles difficiles à interpréter Règles de la perspective

51 Quelques outils… La bande numérique : elle doit être affichée dans la classe ; c’est un outil à faire évoluer tout au long de l’année. À introduire en cours de MS L’enfant doit pouvoir disposer d’une bande numérique individuelle en fonction de ses compétences Le dictionnaire des nombres : forme écrite, forme chiffrée, doigts, constellation…

52 Ces outils sont cependant à réinterroger au regard des objectifs que l’on vise.
ATTENTION le livre des nombres ne peut être construit dès la PS puisqu’il est essentiel de travailler préalablement et séparément les différentes représentations avant de faire des liens entre elles.

53 … et de programmer l’introduction de ces comptines dans le temps.
Les comptines Elles sont utiles pour l’apprentissage des mots-nombres, mais il est nécessaire d’analyser leurs structures et les apprentissages induits chez les enfants … afin de varier … et de programmer l’introduction de ces comptines dans le temps. Lien vers Calculines

54 Jouer avec la comptine numérique
- arrêter la récitation de la comptine numérique à un nombre convenu à l’avance (pour constituer des quantités), Jeu du filet - commencer la comptine numérique à n’importe quel nombre (pour surcompter) - réciter la comptine à l’envers, à partir de n’importe quel nombre pour mémoriser la chaîne orale et décompter - réciter la comptine de 2 en 2 à partir de différents nombres pour mémoriser les doubles - le maître qui se trompe - le jeu du tambour

55 Quelques ouvrages à parcourir… il est essentiel de feuilleter des manuels également pour se construire une liste d’activités possibles à mettre en œuvre pour chaque niveau de classe: Par exemple : « Vers les maths PS »,G. et S. Duprey, Accès « Vers les maths MS », G. et S. Duprey, Accès « Vers les maths GS », G. et S. Duprey, Accès « Découvrir le monde PS et MS », D. Valentin, Hatier « Découvrir le monde GS », D. Valentin, Hatier « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » GS Ermel Hatier « DVD  du SCEREN – Enseigner les mathématiques en maternelle, quantités et nombres en images »