Le nombre d’or. Historique Le nombre d’Or (1,618...) (désigné par la lettre phi) est un rapport, un quotient, c’est-à-dire le résultat de la division.

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1 Le nombre d’or

2 Historique Le nombre d’Or (1,618...) (désigné par la lettre phi) est un rapport, un quotient, c’est-à-dire le résultat de la division de deux longueurs. Celles-ci peuvent être mesurées sur des objets, sur une fleur, sur l’homme… La proportion est formée par deux rapports égaux entre eux. Mais, disait Platon, « Il est impossible de bien combiner deux choses sans une troisième. Il faut entre elles un lien qui les assemble...Or, telle est la nature de la proportion ». Trouver deux longueurs telles que le rapport entre la grande partie et la petite soit égal au rapport du tout : cette proportion fut appelée «proportion divine» par Pacioli. Léonard de Vinci lui donna le nom de «Section aurea», section dorée, qui prend la valeur numérique de 1.618… d’où l’appellation de «Nombre d’Or». a/b = (a+b)/a = 1.618… Le nombre d’Or a inspiré les Egyptiens et les Grecs et devint une référence en matière de proportion… En ce qui concerne la mise en pratique de la proportion dans les anciens plans d'architecture et spécialement des édifices religieux, le secret semble avoir fait partie de l'enseignement confidentiel, que se transmettait les familles de bâtisseurs et des corporations d'autrefois. Platon, dit-on, était peut-être un initié qui a rompu le silence. Il a fallu attendre que tel artiste ou tel savant de l’Antiquité, du Moyen Âge ou de la Renaissance dévoile son secret pour que naisse une technique accessible au public. Il suffit de lire le sermon du silence qui liait les bâtisseurs des pyramides et des tombeaux pour comprendre les retards dus au manque d’information. Par ailleurs, les textes difficiles à déchiffrer à cause d’abréviations et d’expressions anciennes qui datent d’avant le XVI° siècle ont découragé les artistes de l’époque. C’est ce qui explique le secret qui entoure encore aujourd’hui la construction de bien de nos cathédrales. Pendant plusieurs siècles, le nombre d’Or est resté dans l’oubli, à part pour quelques artistes ou architectes bien documentés sur les théories de Vitruve et de Platon. En 1854, Zeissing fit une analyse du squelette humain et en conclut que l’homme est le plus digne des arts appliqués.

3 Architecture De tous temps, les Mathématiques ont été au service de l'Art. Des pyramides d'Egypte aux temples grecs, de l'époque de la Renaissance avec Piero Del la Francesca, à nos jours, l'utilisation du nombre d'or a permis de réaliser de grands chefs d'oeuvres car il leur confère une esthétique des plus belles. L'art du XIXème siècle n'a pas échappé à cette recherche de la beauté et le peintre Sérusier en 1890 a défini un format idéal appelé La Porte d’Harmonie. Le nombre d’or est un rapport entre deux dimensions phi =1.618 Au XX ème siècle, de grands peintres, architectes et sculpteurs ont accompli leurs œuvres en alliant l'Art et les Mathématiques. Dans cette partie du site nous vous proposons quelques exemples d'utilisation de phi dans l'architecture : - Le Parthénon d'Athènes - La pyramide de Kheops Puis, nous nous intéresserons aux travaux d'un architecte du XX éme : Le Corbusier à qui l'on doit le Modulor. Nous vous proposons aussi une interview d'un professeur d'architecture des Beaux Arts (M. Debonne).

4 Le Parthénon Il fut bâti par Périclès en l’honneur de la déesse Athéna, protectrice de la cité d’Athènes. Le Parthénon Plusieurs personnes ont travaillé sur ce monument pour essayer de faire apparaître la proportion divine dans sa constitution. Parmi eux, l'américain Jay Hambidge dans les années 20, le norvégien Frederik Lund, mais aussi l'architecte Christian Langlois. Tous présentent des résultats souvent incompatibles puisqu'ils découpent le Parthénon suivant des figures (rectangles principalement) relativement différentes. Par exemple, l'un trace la hauteur de son rectangle principal au niveau de la troisième marche du temple, l'autre lève son carré au niveau du fût des colonnes externes. C'est pour cette raison que la présence de la proportion divine dans le Parthénon a été bien souvent controversée. Il a été démontré que le Parthénon s'inscrivait dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or. De plus, on remarque un autre triangle d'or (de type E) : le rapport de la division 13 sur la division 12 vaut phi. D'autres rapports mettant en œuvre le nombre ont été trouvés mais sont un peu trop fantaisistes (par exemple utilisant des racines 7° ou 8° de phi).

5 Khéops La Pyramide de Kheops appartient à l’ensemble des pyramides de Gizeh bâties en l’honneur des Rois Egyptiens il y a plus de 4500 ans. Le site de Gizeh, prés du Caire D'après nos recherches, la hauteur b vaut 148,2 m et le côté de la base carré vaut 232,8 m. En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve : a² = b² + c² d'où a² = 148,2² + 116,4² et par conséquent a = 188,44. On obtient que a/c = 188,44/116,4 = phi. Les côtés du triangle ABS sont en progression géométrique. Il n’existe pas d’autre triangle ayant cette propriété remarquable. Le triangle méridien BCS se retrouve dans les cathédrales gothiques et notamment dans la cathédrale Notre Dame De Paris ainsi que dans celle de Strasbourg.

6 Les cathédrales C'est au cours du XI° et du XII° siècles qu'un grand nombre de cathédrales et d'églises sont construites en France et en Europe selon les proportions du nombre d'or. A cette époque l'art roman prédomine dans les constructions et sera suivi plus tard par la période gothique. C'est au moyen de compas de proportion que les bâtisseurs de cathédrales, faisant usage du nombre d'or, arrivaient à conserver cette proportion. Compas de proportion Le principe est simple : on règle grâce à la molette la proportion que l'on souhaite obtenir. Ici, le rapport de la longueur séparant les deux pointes inférieures et de la longueur séparant les deux pointes supérieures vaut le nombre d'or. Ainsi, quelque soit l ouverture, le bâtisseur de cathédrale peut multiplier des longueurs ou les diviser par le nombre d'or en utilisant soit les pointes supérieures, soit les pointes inférieures.

7 Le Corbusier Le Corbusier, pseudonyme de Charles-Édouard Jeanneret (1887-1965), architecte, peintre et théoricien français d'origine suisse, dont le travail eut une grande influence sur le développement de l'architecture moderne. Le Corbusier est né le 6 octobre 1887, à La Chaux-de-Fonds, en Suisse, où il fit de premières études de gravure et d'arts décoratifs. Il passa ensuite quinze mois dans l'atelier d'Auguste Perret (1908-1909). Entre 1910 et 1911, il travailla quelque temps avec l'architecte allemand Peter Behrens, à Berlin où il rencontra Walter Gropius et Mies van der Rohe. En 1917, il s'installa définitivement à Paris et rencontra Amédée Ozenfant, figure importante du purisme, avec qui il écrivit, à l'occasion de sa première exposition de peinture, le manifeste du purisme, Après le cubisme. En 1920, Le Corbusier fonda avec lui la revue l'Esprit nouveau dans laquelle il fit paraître plusieurs articles fondamentaux sur l'architecture. En 1922, il s'associa en tant qu'architecte avec son cousin ingénieur Pierre Jeanneret, et adopta le nom de jeune fille de sa mère, Le Corbusier. De leur agence, que Le Corbusier dirigea jusqu'à sa mort, sont sortis les grands projets urbains dont celui pour une ville de 3 millions d'habitants en 1922. La même année, il réalisa ses premiers projets architecturaux parmi lesquels la maison Ozenfant à Paris. Dès 1925, les projets comme les réalisations contenaient les principes fondamentaux de l'architecture de Le Corbusier. Partisan du fonctionnalisme, il s'écarta des valeurs et conditionnements historiques et marqua profondément, tant par son œuvre que par ses écrits, l'architecture du XXe siècle. Pour lui, l'architecte est celui qui doit résoudre les conflits sociaux par une intervention sur l'organisation des espaces urbains et architecturaux. Cette adaptation de l'architecture à la vie moderne s'accompagna matériellement d'une utilisation technologiquement très avancée du béton armé, du verre et des matériaux synthétiques, de l'emploi d'éléments préfabriqués et, esthétiquement, de l'usage des couleurs «!pures!», des pilotis, toits-terrasses et pare-soleil. Charles-Edouard Jeanneret (Le Corbusier)

8 Le modulor Le Corbusier construit et représente sa grille sur la silhouette d'un homme debout, levant un bras. En bâtissant l'échelle humaine, le Corbusier rejoint notamment les architectes de la Grèce antique. Comme ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le corps s'y reconnaisse. Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'Or". Il construit sa grille par rapport aux différentes parties du corps humain et l'appelle "le Modulor". C'est avant tout la prise en compte de l'homme, "cet animal qui doit pouvoir s'ébrouer tout à son aise dans l'espace de sa maison", qui guide les choix architecturaux de Le Corbusier. "La nature est mathématique, les chefs-d'œuvre de l'art sont en consonance avec la nature. Ils expriment les lois de la nature et ils s'en servent". Voilà bien le credo sur lequel Le Corbusier fonde son action. Au modulor va s'ajouter un besoin de normalisation aussi bien en architecture qu'en construction mécanique. Cette normalisation s'impose esthétiquement, "pour plus d'harmonie" et économiquement dans cette phase de reconstruction urgente au lendemain de la guerre. La nécessité est la construction en masse de logements (le Corbusier va jusqu'à parler de "machine à habiter"). Le modulor est ainsi utilisé pour respecter l'échelle humaine. Le Modulor lui apparait aussi comme le moyen de dépasser les deux systèmes de mesure qui divisent la planète. L'échelle du Modulor suit la progression de Fibonacci, suite qui tend vers le nombre d'or, principe qui va de soi puisque pour Le Corbusier l' "on a démontré et principalement à la Renaissance que le corps humain obéit à la règle d'or".

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12 Quelques exemples de l'échelle du Modulor : Hauteur de plafond : 226 cm Hauteur de table : 70 cm Hauteur d'un élément de cuisine : 86 cm Hauteur de chaise : 43 cm Hauteur de bar : 113 cm Ces valeurs sont utilisées pour mettre en œuvre un milieu de vie dans lequel on se sent bien.

13 Interview Le nombre d'Or est également très présent dans l'architecture, les Mayas et les Egyptiens le connaissaient (Pyramide de Guizeh). De plus tous les monuments antiques grecques obéissent aux proportions du nombre d'Or. Oublié puis remis au goût du jour à la Renaissance, il replonge dans l'oubli jusqu'à la fin XIX ème début XX ème par un architecte français : Le Corbusier. Ce dernier va d'ailleurs bouleverser l'architecture de son époque en élaborant toutes ces créations à partir d'une règle mélangeant les proportions de l'homme et celles du nombre d'Or : Le Modulor. L'entretien avec un professeur d’arts plastiques d’une école d'architecture aux Beaux Arts fut à ce propos très intéressant. En voici le résumé : Après avoir conté un historique du nombre d’Or et du modulor : Nous : « … Aujourd’hui quelle importance accordez vous au nombre d’or dans vos cours ? » M. Debonne : «Les bases leur sont enseignées, mais tu vois il ne faut pas se focaliser dessus. » Nous : « Pourtant c’est reconnu comme étant une clé de la beauté et de l’esthétisme ? » M. Debonne : «J’ai une anecdote à ce propos. J’ai connu un assistant du Corbusier qui un jour s’acharnait à utiliser le modulor sans y parvenir. Le Corbusier lui a indiqué qu’il ne fallait l’appliquer à tort et à travers sinon on obtient des choses ridicules. » Nous : « Et vous qu’en pensez vous ? » M. Debonne : « Le Corbusier a raison, mais en voyant Le couvent de la Tourette qu’il a conçu uniquement avec le Modulor je me demande si ça vaut vraiment la peine d’effectuer tous ces calculs ». Intervention d’une élève : « je pense qu’il faut appliquer la philosophie du nombre d’Or, c'est-à-dire garder un tout harmonieux même si cela ne correspond pas à la virgule près aux calculs ». M. Debonne : « C’est exactement ça !... » M. Debonne a alors étendu l’explication de l’exploitation du nombre d’Or à d’autres domaines.

14 Propriétés Le Nombre d'Or possède, nous l'avons vu, un très grande nombre de propriétés. Ce que nous nous proposons de faire dans cette section du site est de regrouper quelques unes de ces propriétés qui présentent un côté "mystérieux" car non démontrable, ou fausse en théorie et vrai en pratique. Nous commencerons par celle ci : Lorsque un volume parallélépipédique est entamé à une des extrémité de sa base par un volume parallélépipédique homotéthique, alors, lorsque le rapport du volume restant sur le volume enlevé sera égal à 1,618 (soit phi), la structure s'écroulera