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DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat I - Les Éléments comme introduction aux géométries non euclidiennes.

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1 DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat I - Les Éléments comme introduction aux géométries non euclidiennes

2 Autour du 5 ème Postulat A – Deux exercices de construction g é om é trique 1) Un segment [AB] é tant donn é, construire un triangle é quilat é ral de côt é [AB]. ( É l é ments Livre I, Prop 1). 2) Un segment [AB] é tant donn é, construire un carr é de côt é [AB]. ( É l é ments Livre I, Prop 46). Question 1 : Quels sont les implicites que vous devez admettre pour enseigner ces constructions à un é l è ve de coll è ge ? Question 2 : Quelles sont les d é finitions que vous devez utiliser ? Question 3 : De quelles propri é t é s (propositions et th é or è mes) vous êtes- vous servi ? Question 4 : Quelles sont les propri é t é s utilis é es qui sont cons é quentes ou é quivalentes au 5 è me Postulat d Euclide ? Pouvez-vous vous en passer ?

3 Autour du 5 ème Postulat A – Deux exercices de construction g é om é trique Construire signifie : 1 - Tracer la figure sur une feuille de papier avec comme seuls instruments une r è gle bien droite (tiens tiens ?) non gradu é e et un compas. 2 - Donner l algorithme de construction qui vous para î t le plus simple (la suite des op é rations graphiques à r é aliser pour obtenir le r é sultat demand é ), 3 - Justifier par des arguments g é om é triques et logiques que la construction propos é e conduit effectivement au r é sultat recherch é. É tudier notamment l existence et l unicit é de ce r é sultat.

4 Autour du 5 ème Postulat A – R é ponses d Euclide. P REMI È RE P ROPOSITION : Sur une droite donn é e et finie, construire un triangle é quilat é ral. E XPOSIT1ON. Soit AB une droite donn é e et finie. D É TERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle é quilat é ral. C ONSTRUCTION. Du centre A et de l intervalle AB, d é crivons la circonf é rence B (dem. 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, d é crivons la circonf é rence A E ; et du point, o ù les circonf é rences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites A, B (dem. 1). D É MONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle B, la droite A est é gale à la droite AB (d é f. 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle A E, la droite B est é gale à la droite BA ; mais on a d é montr é que la droite A é tait é gale à la droite AB ; donc chacune des droites A, B est é gale à la droite AB; or, les grandeurs qui sont é gales à une même grandeur, sont é gales entre elles (not. 1) ; donc la droite A est é gale à la droite B; donc les trois droites A, AB, B sont é gales entre elles. C ONCLUSION. Donc le triangle AB (def. 24) est é quilat é ral, et il est construit sur la droite donn é e et finie AB. Ce qu'il fallait faire. A B E

5 Autour du 5 ème Postulat A – R é ponses d Euclide. P ROPOSITION 46 : D é crire un carr é avec une droite donn é e. Soit AB la droite donn é e ; il faut d é crire un carr é avec la droite AB. Du point A, donn é dans cette droite, conduisons A perpendiculaire à AB (prop. 11) ; faisons A é gal à AB (prop. 3) ; par le point conduisons E parall è le à AB (prop. 31) ; et par le point B conduisons BE parall è le à A. La figure A EB est un parall é logramme; donc AB est é gal à E, et A é gal à BE. Mais AB est é gal à A ; donc les quatre droites BA, A, AE, EB sont é gales entre elles ; donc le parall é logramme A EB est é quilat é ral. Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite A tombe sur les parall è les AB, E, les angles BA, A E sont é gaux à deux droits (prop. 29) ; mais l'angle BA est droit ; donc l'angle A E est droit aussi. Mais les côt é s et angles oppos é s des parall é logrammes sont é gaux entre eux (prop. 34) ; donc chacun des angles oppos é s ABE, BE est droit ; donc le parall é logramme A EB est rectangle. Mais nous avons d é montr é qu'il est é quilat é ral ; donc le parall é logramme A EB est un carr é, et il est d é crit avec la droite AB ; ce qu'il fallait faire. B E A

6 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide 4 volumes de Bernard Vitrac Texte de Fran ç ois Peyrard de

7 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide, Livre I : 35 d é finitions, 6 demandes et 9 notions communes (axiomes des grandeurs) 1 - D é finitions à distinguer - D é finition 10 : Lorsqu une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite é gaux entre eux, chacun de ces angles é gaux est droit ; et la droite plac é e au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est plac é e. - D é finition 15 : Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu on nomme circonf é rence ; toutes les droites, men é es à la circonf é rence d un des points [le centre] plac é s dans cette figure, é tant é gales entre elles. - D é finition 30 : Parmi les figures quadrilat è res, le carr é est celle qui est é quilat é rale et rectangulaire. - D é finition 35 : Les parall è les sont des droites, qui, é tant prolong é es à l infini de part et d autre, de se rencontrent ni d un côt é ni de l autre.

8 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide, Livre I 2 - Les Demandes ou Postulats : 1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque. 2. Prolonger ind é finiment, selon sa direction une droite finie. 3. D un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, d é crire une circonf é rence de cercle. 4. Tous les angles droits sont é gaux entre eux. 5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int é rieurs du même côt é plus petits que deux droits, ces droites, prolong é es à l'infini, Se rencontreront du côt é o ù les angles sont plus petits que deux droits. 6. Deux droites ne renferment point un espace.

9 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide, Livre I 3 - Les notions communes (axiomes des grandeurs) : 1. Les grandeurs é gales à une même grandeur, sont é gales entre elles. 2. Si à des grandeurs é gales, on ajoute des grandeurs é gales, les tout seront é gaux. 3. Si de grandeurs é gales, on retranche des grandeurs é gales, les restes seront é gaux. 4. Si à des grandeurs in é gales, on ajoute des grandeurs é gales, les tout seront in é gaux. 5. Si de grandeurs in é gales, on retranche des grandeurs é gales, les restes seront in é gaux. 6. Les grandeurs, qui sont doubles d'une même grandeur, sont é gales entre elles. 7. Les grandeurs, qui sont les moiti é s d'une même grandeur, sont é gales entre elles. 8. Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont é gales entre elles. 9. Le tout est plus grand que la partie.

10 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide, Livre I : 47 propositions 4 - La structure du Livre I a) La g é om é trie neutre ou absolue (sans le 5 è me Postulat) 1- Prop. 1 à 3 : constructions de base. Prop 1: Sur une droite donn é e et finie, construire un triangle é quilat é ral 2- Prop. 4 à 8 : propri é t é s des angles et côt é s d un triangle 3- Prop. 9 et 10 : constructions de bissectrices et de milieux 4- Prop. 11 à 15 : perpendiculaire à une droite et angles de 2 droites Prop 12 : A une droite ind é finie et donn é e, et d un point donn é, mener une ligne droite perpendiculaire. 5- Prop 16 à 26 : in é galit é s d angles et de côt é s dans un triangle Prop 17 : deux angles d un triangle quelconque, de quelque mani è re qu ils soient pris, sont moindres que deux droits. ( Th é or è me de Saccheri: les trois angles d un triangle sont moindres que deux droits) 6- Prop. 27 et 28 : conditions d angles impliquant le parall é lisme B A E A B E A

11 Autour du 5 ème Postulat B – Les É l é ments d Euclide, Livre I : 47 propositions 4 - La structure du Livre I b) La th é orie des parall è les (avec le 5 è me Postulat) 1- Prop. 29 à 32 : propri é t é s é quivalentes au 5 è me Postulat. Prop 29 : Une droite qui tombe sur deux droites parall è les, fait les angles alternes é gaux … R é ciproque de la prop. 28 et contrapos é e du 5 è me Postulat. Prop 31 : Par un point donn é, conduire une ligne droite parall è le à une droite donn é e. Construction possible en g é om é trie absolue. Seule l unicit é est cons é quence du 5 è me Postulat : axiome de Proclus-Playfair-Hilbert. Existence d un rectangle : axiome de Clairaut. Prop 32 : … les trois angles int é rieurs d un triangle sont é gaux à deux droits Cons é quence directe du 5 è me Postulat. R é ciproque vraie : th é or è me de Saccheri-Legendre, difficile à d é montrer. Prop 33 à 45 : Parall é logrammes et m é thode des aires Prop. 46 : D é crire un carr é avec une droite donn é e. Prop. 47 et 48 : Applications, le th é or è me de Pythagore et sa r é ciproque. Ainsi nomm é par Proclus au V è me si è cle apr è s J.C. B A E A AB


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