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DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat II - To prove or not to prove, That is the question.

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1 DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat II - To prove or not to prove, That is the question

2 Autour du 5 ème Postulat C – Les essais de d é monstrations L é nonc é du 5 e Postulat tel qu il figure dans les É l é ments ressemble à une proposition. Sa contrapos é e (logiquement é quivalente) est la proposition 29 : une droite qui tombe sur deux droites parall è les fait les angles int é rieurs plac é s du même côt é é gaux à deux droits. Proclus (V è me si è cle) se demande : « Comment ce dont la r é ciproque est consign é e parmi les th é or è mes comme d é montrable serait-il ind é montrable ? » De nombreuses tentatives de d é monstrations ont marqu é trois grandes p é riodes de l histoire de ce Postulat: – l antiquit é, tentatives et commentaires rapport é es par Proclus de Lycie (Commentaires sur le premier Livre des É l é ments d Euclide, ), – les multiples propositions des arabes ou orientaux dont la plus significative est celle d Omar al Khayyâm (commentaires sur les postulats probl é matiques d Euclide, ), – les essais occidentaux de la Renaissance à Legendre : la tentative de Wallis (De Postulato Quinto et Definitione Quinta, Opera Mathemartica, ), les travaux de Girolamo Saccheri (Euclide lav é de toute tache, ) et de Johann Heinrich Lambert (Theorie der Parallellinien, ).

3 Autour du 5 ème Postulat C 1 – Les essais grecs de d é monstrations 1 - Claude Ptol é m é e, rapport é par Proclus de Lycie Proclus pr é sente d'abord la tentative de Claude Ptol é m é e dans son ouvrage Sur la rencontre de droites prolong é es à partir d'angles plus petits que deux angles droits (seconde moiti é du II è me si è cle, ouvrage perdu). L id é e est de d é montrer la proposition 29 comme r é ciproque de la proposition 28 d'Euclide, valable en g é om é trie absolue : Si une droite tombant sur deux droites fait les angles int é rieurs, plac é s du même côt é, é gaux à deux droits, ces deux droites seront parall è les, sans faire usage du 5 è me Postulat qui serait alors « d é montr é » comme contrapos é e. Que les droites AB et CD soient parall è les et que la droite HK tombe sur celles-ci ; je dis que cette droite ne forme pas les angles internes situ é s du même côt é ni plus grands que deux droits ni plus petits

4 Autour du 5 ème Postulat C 1 – Les essais grecs de d é monstrations 1 - Claude Ptol é m é e Ptol é m é e suppose d abord que de chaque côt é de (HK) les angles int é rieurs sont ensemble plus grands que deux droits : AHK + HKC > 2 droits et BHK + HKD > 2 droits. Mais les angles suppl é mentaires aux deux premiers sont plus petits que deux droits : BHK + HKD < 2 droits, ce qui est absurde. Même raisonnement pour montrer que les angles internes d'un même côt é ne sont pas ensemble plus petits que deux droit. Ptol é m é e montre ais é ment que, dans l hypoth è se du 5 è me Postulat, les deux droites prolong é es se rencontrent du côt é des angles internes plus petits que deux droits. Proclus souligne la faute logique de cette "d é monstration" et remarque de plus qu'elle conduirait à la même conclusion si les droites donn é es n' é taient pas parall è les.

5 Autour du 5 ème Postulat C 1 – Les essais grecs de d é monstrations 2 - Une autre tentative critiqu é e par Proclus de Lycie : Un raisonnement bas é sur les paradoxes de Z é non, rapport é par Proclus : On suppose que (AB) et (CD) font avec la s é cante (AC) des angles CAB et ACD inf é rieurs ensembles à 2 droits. On montre que les droites prolong é es (AB) et (CD) ne se coupent pas. Soit E le milieu de [AC], H sur (AB) et K sur (CD) tels que AH = AE et CK = CE. (AB) et (CD) ne se rencontrent pas en H, ni entre A et H ou C et K sinon le triangle AHC aurait son côt é AC sup é rieur ou é gal à la somme des deux autres, ce qui est contraire à la proposition 20. On peut donc mener la droite (HK) (1 er postulat) et recommencer ce raisonnement avec le point F milieu de [HK] et les points distincts I et J tels que HI = HF et KJ = KF et le poursuivre ainsi ind é finiment. En raisonnant comme Z é non d' É l é e, si les droites (AB) et (CD) se coupaient à distance finie en P, il appara î trait impossible de pouvoir placer une infinit é de segments successifs entre A et P.

6 Autour du 5 ème Postulat C 1 – Les essais grecs de d é monstrations 2 - Une autre tentative critiqu é e par Proclus de Lycie : Il souligne que si CAB + ACD < 2 droits, cette hypoth è se ne se reporte pas n é cessairement en KHI + HKJ < 2 droits (sauf à consid é rer que la somme des angles du quadrilat è re AHKC est é gale à 4 droits, ce qui serait admettre le 5 è me Postulat). Proclus invalide le raisonnement en remarquant que tra ç ant (CH) (on le peut puisque H n'est pas sur (CD)), il s'appliquerait aussi aux droites (AH) et (CH) qui font avec (AC) deux angles encore plus petits que CAH + ACK, ce qui conduit à l'absurdit é que (AH) et (CH) ne se couperaient pas. 3 - Proclus propose alors SA d é monstration. Pour cela, il admet un axiome d û à Aristote, qui semble admissible, mais qui en fait entra î ne le 5 è me Postulat : Si deux droites formant un angle sont prolong é es à l'infini, elles s' é cartent ind é finiment.

7 Autour du 5 ème Postulat C 1 – Les essais grecs de d é monstrations 3 - La d é monstration de Proclus. Il d é montre d abord le lemme suivant : Deux parall è les é tant donn é es, toute droite qui coupe l'une coupe l'autre. Si (EF) coupe (AB) en H, elle coupe aussi sa parall è le (CD). En effet, (HB) et (HF) prolong é es à l'infini s' é carteront d'une distance plus grande que celle qui s é pare les parall è les. Ainsi, il y a sur (HF), du côt é de (CD), un point P dont la distance à (AB) est plus grande que la distance de (AB) à (CD). Ce point P ne peut être entre ces deux parall è les, H et P sont donc de part et d'autre de (CD) et (EF) coupe (CD). En admettant que la distance entre deux parall è les est born é e, Proclus admet implicitement le 5 è me Postulat. Il peut ensuite terminer sa d é monstration : Soient deux droites (AB) et (CD) et une s é cante (HK), telle que les angles int é rieurs BHK et HKD soient plus petits que 2D. On construit l'angle BHF suppl é mentaire à BHK + HKD, ce que l'on sait faire (prop. 23 des É l é ments). On prolonge (FH) au del à de H en E. Comme (HK) coupe (EF) et (CD) en faisant des angles int é rieurs é gaux à 2 droits, les droites (EF) et (CD) sont parall è les (prop. 28). Mais (AB) coupe (EF). D'apr è s le lemme pr é c é dent, (AB) coupe aussi (CD), du côt é o ù les angles avec (HF) sont plus petits que 2 droits. C.Q.F.D.

8 Autour du 5 ème Postulat C 2 – Tentatives arabo-musulmanes Dans les É l é ments, le mouvement et les transformations g é om é triques sont explicitement absents. Mais, les d é placements sont implicitement n é cessaires pour comparer des figures (comme pour la prop. 4, le premier cas d é galit é des triangles) : Euclide les superpose. Une r é f é rence explicite au mouvement dans le plan de la g é om é trie peut amener à des remarques qui semblent totalement de bon sens, alors qu elles cachent le 5 è me Postulat. Par exemple, faire glisser une figure parall è lement à elle-même suppose de conserver des angles et admet implicitement la proposition 29, contrapos é e du 5 e Postulat. C est le vice cach é des premi è res tentatives arabo-musulmanes : – Tabit ibn Qurra (IX è si è cle, Bagdad : Le livre sur la d é monstration du c é l è bre postulat d Euclide) prouve par le mouvement l existence de rectangles de laquelle d é coule le 5 è postulat. – Ibn al-Haytam ( , Le Caire : Le livre du commentaire des propositions non d é montr é es du Livre d Euclide), explique que : Par le mouvement d un segment [AB] se d é pla ç ant perpendiculairement à la droite (d), A é tant sur (d), l autre extr é mit é B d é crit une droite parall è le à (d), qui de plus est é quidistante de (d).

9 Autour du 5 ème Postulat C 2 – Tentatives arabo-musulmanes – Al-Mu taman Ibn Hud (roi de Saragosse de 1081 à 1085 : Le livre de la perfection), d é crit la « preuve » suivante dans sa proposition 14 dont l é nonc é est celui du 5 e Postulat. Les droites (EZ) et (HT) é tant donn é es, coup é es par la droite (AD) en B et G, faisant les angles int é rieurs en B et G ensemble plus petits que deux droits. On trace la droite (BK) de telle sorte que l angle GBK soit é gal à DGT, et on prolonge (BK) à l infini des deux côt é s en la droite (LK). Faisant glisser (LK) en (L K ) parall è lement à elle-même, le point B d é crivant (BG) se « s é pare » de l intersection C de (L K ) avec (EZ) prolong é e à l infini. Quand B est en G, C vient sur (HT) prolong é e, ce qui montre que les droites (EZ) et (HT) prolong é es se coupent du côt é o ù les angles internes sont plus petits que deux droits E L A B K Z C B H G D T L K

10 Autour du 5 ème Postulat C 3 – Une d é marche analogue de John Wallis – John Wallis ( : De Postulato Quinto et Definitione Quinta, Opera Mathematica), juge naturel de supposer que pour une figure donn é e, il en existe une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable (axiome é quivalent au 5 è Postulat qui permet de faire glisser un angle restant é gal à lui-même). Wallis base sa « d é monstration » sur l id é e suivante : Dans la configuration du 5 è postulat o ù les segments [AB] et [CD] font avec une s é cante (d) des angles int é rieurs et plus petits que 2 droits, si l on d é place le point A sur (d) en direction de C, le segment [AB] faisant toujours un angle avec (d), on passera par une position [A B ] qui rencontrera [CD] en un point P. En prolongeant [CD] et [AB] de ce même côt é, on obtient n é cessairement un triangle CAQ semblable à CA P. Les droites prolong é es (AB) et (CD) se rencontrent donc en Q

11 Autour du 5 ème Postulat C 4 – Construire un rectangle, telle est la question L existence d un rectangle suffit pour d é montrer le 5 è me Postulat (axiome de Clairaut). Cela revient à admettre l existence de deux droites é quidistantes, donc parall è les. Certains auteurs ont d ailleurs pris cette d é finition du parall é lisme, admettant alors implicitement le 5 è me Postulat. De nombreuses tentatives de d é monstrations reprennent donc la construction du carr é trait é e par Euclide à la proposition 46 en essayant de ne pas utiliser le 5 è postulat. Cette configuration, à la suite des travaux rigoureux de Omar Al-Khayyam, Saccheri et Lambert, sera à la base de l invention des g é om é tries non euclidiennes. Le segment [AB] é tant donn é, on construit en A et B les segments de même longueur (prop. 2 des É l é ments) [AC] et [BD] perpendiculaires à [AB] (prop. 11). Il faut prouver que ABCD est un rectangle, ou encore que les angles en C et D sont droits. C A B D

12 Autour du 5 ème Postulat C 5 – Le travail fondateur d Omar Al-Khayyam – Omar Al-Khayyam ( , Iran : Commentaires sur les difficult é s de certains postulats du Livre d Euclide, compos é par le tr è s-illustre et tr è s- v é ridique shaykh et imam Abu Al-Fath Umar Ibn Ibrahim Al-Khayyami). Le Livre Premier : De la v é ritable nature des parall è les, et de l expos é de la c é l è bre difficult é (d é monstration du 5 e Postulat), est introduit ainsi: « Nous devrons admettre vingt-huit propositions de l'ouvrage Les É l é ments, car elles ne d é pendent pas de cette pr é misse: seule la vingt-neuvi è me proposition, o ù nous voulons rapporter les lois des lignes parall è les, en d é pend ». Omar Al-Khayyam propose d ins é rer à cet endroit 8 nouvelles propositions constituant la « d é monstration » du 5 e Postulat. Proposition Premi è re, soit la 29 e du Livre I : Je dis que l'angle ACD sera é gal à l'angle BDC. C est un simple exercice d é galit é s d angles et de triangles pour montrer que les angles en C et D sont é gaux : les triangles DAB et CBA sont é gaux (prop. 4), d o ù AD = BC et les triangles EAB et ECD sont isoc è les (prop. 5 et 6), d o ù ACD = BDC. C A B D E

13 Autour du 5 ème Postulat C 5 – Le travail fondateur d Omar Al-Khayyam La cl é du probl è me est donc de montrer que les angles en C et D sont droits. Omar Al-Khayyam proc è de en deux é tapes: Il é limine d abord l hypoth è ses qu ils sont - aigus, car dans ce cas CD serait plus grand que AB et les droites (AC) et (BD) s é carteraient l une de l autre de part et d autre de [AB]) - ou obtus, car (AC) et (BD) se rapprocheraient l une de l autre de part et d autre de [AB]. Il remarque: « On a donc deux lignes droites qui coupent une ligne droite selon deux angles droits, et la distance entre elles augmente ou diminue des deux côt é s de cette ligne. C'est l à une absurdit é premi è re, d è s lors que l'on con ç oit la lin é arit é et que l'on r é alise la distance entre les deux lignes …» « … Il est donc impossible que les deux lignes [AB] et [CD] soient in é gales. Et d è s lors qu'elles sont é gales, les deux angles seront deux angles droits ». Cet argument d Omar Khayyâm rel è ve donc de l appr é hension sensitive et ne s appuie sur aucune donn é e de g é om é trie th é orique. Il met en valeur le sens profond du 5 è postulat pour lequel les droites de la g é om é trie euclidienne sont bien droites, telles qu on se les repr é sente intuitivement. En rejetant cette intuition, on ouvre la porte aux g é om é tries non euclidiennes.

14 Autour du 5 ème Postulat C 6 – Vers les g é om é tries non euclidiennes La configuration du rectangle fut encore reprise par: -Nas ï r ad-D ï n at-T ü s ï ( , Persan : L opuscule qui d é livre des doutes concernant les droites parall è les), et sera aussi à la base des travaux essentiels de : – Girolamo Saccheri ( , Italie : Euclide lav é de toute tache). Saccheri r é fute facilement l hypoth è se que les angles C et D sont obtus (qui aboutit à une g é om é trie sph é rique), en contradiction avec la proposition 16 d Euclide (propri é t é de l angle ext é rieur d un triangle qui suppose qu une droite peut être prolong é e ind é finiment), mais ne peut conclure dans l hypoth è se de l angle aigu, ne pouvant exclure que deux droites soient asymptotes : Dans le même dilemme qu Omar Khayyam, Saccheri ne peut qu affirmer : L hypoth è se de l angle aigu est absolument fausse car cela r é pugne à la nature de la ligne droite. C A B D

15 Autour du 5 ème Postulat C 6 – Vers les g é om é tries non euclidiennes La configuration du rectangle fut é galement reprise par : – Johann Heinrich Lambert ( , Suisse : Theorie der Parallellinien). Lambert montre que l hypoth è se de l angle obtus est impossible dans une g é om é trie o ù les droites sont infinies, mais remarque que cette propri é t é est v é rifi é e sur une sph è re. Il pousse l hypoth è se de l angle aigu le plus loin possible, et obtient les premiers r é sultats en g é om é trie hyperbolique (par exemple, l existence d une mesure absolue et la somme des angles a, b, c d un triangle ABC d é pend de son aire : 2droits – (a+b+c) = k aire(ABC) Comparant cette formule à celle de Girard (1625) donnant sur une sph è re de rayon R : (a+b+c) – 2droits = (1/R 2 ) aire(ABC), il conclut que l hypoth è se de l angle aigu m è ne à une g é om é trie sur une sph è re de rayon imaginaire iR. Mais, consid é rant qu il n y a pas de mesure absolue des longueurs en physique et convaincu que les axiomes de la g é om é trie doivent refl é ter notre perception de l espace, il é carte aussi l hypoth è se de l angle aigu pour obtenir le 5 e postulat qui n est donc pas math é matiquement d é montr é. Il para î t que Lambert fut traumatis é par ces propri é t é s non euclidiennes à la fausset é improuvable.

16 Autour du 5 ème Postulat C 7 – Mises en garde et recherches prometteuses 1 - Jean Le Rond D Alembert ( ) é crira dans l Encyclop é die (v. 1765) : « la d é finition et les propri é t é s de la ligne droite, ainsi que des lignes parall è les sont l é cueil et pour ainsi dire le scandale des é l é ments de g é om é trie ». 2 - Wolfgang Farkas Bolya ï ( ), apr è s 8 tentatives infructueuses, d é courag é, é crit à son fils Janos qui sera l un des cr é ateurs des GNE : « Je vous supplie de laisser cette science des parall è les tranquille... J'ai travers é cette nuit insondable, qui é teignit toute lumi è re et joie de ma vie... Je suis revenu quand j'ai vu qu'aucun homme ne pouvait atteindre le fond de la nuit … Je m en reviens inconsol é, m apitoyant sur mon sort... La ruine de mon humeur et ma chute datent de ce temps. J'ai, bêtement, risqu é ma vie et mon bonheur … » 2 - R é ponse du fils Janos Bolya ï, indocile, en 1823 : « Je suis d é cid é à publier mon travail sur la th é orie des parall è les [..] Le but n'est pas encore atteint mais j'ai fait des d é couvertes merveilleuses qui m'ont subjugu é es, et ce serait une cause de regret é ternel si elles é taient perdues … La seule chose que je puisse dire, c'est que j'ai cr éé un nouvel univers à partir de rien. Tout ce que je vous ai envoy é jus que l à est un château de cartes à côt é de la tour ».

17 Autour du 5 ème Postulat C 8 – Carl Friedrich Gauss ( ), le pr é curseur 1 - R é ponse à Farkas Bolya ï qui lui avait communiqu é les travaux de son fils : « le contenu lui-même du travail, le chemin suivi par votre fils et les r é sultats auxquels il est conduit, co ï ncident presque enti è rement avec les m é ditations qui ont occup é mon esprit en partie pour les 30 à 35 derni è res ann é es ». Gauss ajoute : « Mon intention é tait de ne rien publier de mon vivant … Je suis tr è s heureux que ce soit le fils d'un vieil ami qui me pr é c è de d'une mani è re si remarquable. » 2 - Lettre à Wolfgang Farkas Bolya ï de 1799 : « J'ai d é j à fait quelques progr è s dans mon travail ; si on pouvait prouver qu il existe un triangle dont l'aire est plus grande que tout nombre donn é à l avance, alors je pourrais é tablir la g é om é trie euclidienne rigoureusement". 3 - Lettre de 1817 à Burkhard : « Je suis de plus en plus convaincu que la n é cessit é de notre g é om é trie euclidienne ne peut être prouv é e en tout cas par une pens é e humaine et pour une raison humaine. Peut être dans une autre vie il nous sera possible d'avoir une indication sur la nature de l'espace qui nous est pour le moment inaccessible ».

18 Autour du 5 ème Postulat C 8 – Carl Friedrich Gauss ( ), le pr é curseur 4 - Lettre à Taurinus de 1824, annon ç ant une nouvelle g é om é trie qui sera d é velopp é e par Lobatchevski en 1829 (en russe, publi é en fran ç ais en 1837) : « l'hypoth è se que la somme des angles d'un triangle est inf é rieure à 180 degr é s conduit à une g é om é trie curieuse, assez diff é rente de la nôtre, mais coh é rente que j'ai d é velopp é e à mon enti è re satisfaction et dans laquelle je peux r é soudre tout probl è me à l'exception de la d é termination d'une constante qui ne peut être d é finie a priori. Plus cette constante est grande, plus on est proche de la g é om é trie euclidienne et les deux co ï ncident si elle est prise infinie ». 5 - Dans cette même lettre de 1824, Gauss ajoute : « Tous mes efforts pour d é couvrir une contradiction, une incoh é rence dans cette g é om é trie non euclidienne ont é chou é, (...) Mais il me semble que nous ne connaissons que si peu, pour ne pas dire rien du tout, de la vraie nature de l'espace qu'il n'est pas possible de qualifier d'impossible ce qui nous appara î t comme non naturel ». 5 -Appr é ciation de D ü ring vers 1880 sur la g é om é trie non euclidienne : « Insanit é d é mentielle, th é or è mes et figures mystiques et d é lirants n é s d'une pens é e maladive ! Les parties d é g é n é r é es du cerveau de Gauss ».

19 Autour du 5 ème Postulat C 9 – Un g é om è tre entêt é : Legendre Ni les tentatives historiques de d é monstration ni les travaux contemporains de Saccheri et Lambert n ont empêch é Adrien-Marie Legendre ( ), de proposer d autres d é monstrations dans ses É l é ments de G é om é trie, faisant preuve d une grande invention, mais aussi d un grand entêtement : « La d é monstration de la th é orie des parall è les, telle qu elle avait é t é pr é sent é e dans la 3 e é dition de cet ouvrage et dans les é ditions suivantes jusqu à la 8 e inclusivement, n é tant pas à l abri de toute objection, on s é tait d é termin é dans la 9 e é dition à r é tablir cette th é orie à -peu-pr è s sur la même base qu Euclide. Depuis, on a d é couvert deux nouvelles mani è res de d é montrer le th é or è me sur les trois angles du triangle, sans le secours d aucun postulatum … » (note de la 12 è me é dition) C 10 – L avis des physiciens Point de vue d Einstein, (devant l Acad é mie des Sciences de Berlin en 1921): « La g é om é trie pratique est une science d é riv é e de l exp é rience, nous la distinguons de la g é om é trie axiomatique. La question de savoir si la g é om é trie pratique du monde est euclidienne ou non, a un sens pr é cis et la r é ponse ne peut être fournie que par l exp é rience. » Reichenbach (1927) : « Les math é matiques r é v è lent les espaces possibles ; la physique d é cide lequel parmi eux correspond à l espace physique ».


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