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CHAPITRE 6 Vecteurs et translations. Objectifs: -Connaître et savoir utiliser lécriture vectorielle. -Reconnaître des vecteurs égaux. -Construire un point.

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1 CHAPITRE 6 Vecteurs et translations

2 Objectifs: -Connaître et savoir utiliser lécriture vectorielle. -Reconnaître des vecteurs égaux. -Construire un point défini par une égalité vectorielle. - Construire le vecteur représentant la composée de deux translations. -Simplifier les écritures vectorielles.

3 « Vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation en A lorigine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis ( ) qui les désignait comme segments équipollents.

4 I. Translations La translation est une transformation qui consiste à faire glisser un objet dun point vers un autre point. Fig 1 Fig 2 Ici, la figure 2 est limage de la figure 1 par la translation qui transforme A en B. A B

5 1) Définition Une translation est définie par la donnée: 2) Propriétés Une translation : - conserve les distances, les angles, les surfaces. - transforme une droite en une droite qui lui est parallèle. - dun sens ici de A vers B - dune direction ici la droite (AB) - dune longueur ici AB A B

6 II. Vecteurs Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : - une direction, - un sens, - une longueur. A B lorigine larrivée AB Notation : on note AB le vecteur allant de A vers B. m Ici, le vecteur m 1) Définition

7 Quelques vecteurs particuliers Soit A un point quelconque, AA est appelé le vecteur nul et est noté O AA ou O Le vecteur BA est lopposé du vecteur AB on note BA = AB AB AB BA ou AB Remarque: Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

8 Exemple 1 : Construire le point M image du point M dans la translation de vecteur AB. Remarque: Pour construire limage dune figure, il suffit de reproduire la même construction à partir des sommets de la figure de départ. Cliquez sur licône pour voir lanimation

9 Exemple 2 : Construire limage F de la figure F par la translation de vecteur m.m 6 vers la droite 4 vers le haut 6 vers la droite 4 vers le haut F m F

10 A B D C AB = DC AD = BC ABCD est un parallélogramme 2) Vecteurs égaux Deux vecteurs égaux signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. Remarque : pour construire deux vecteurs égaux, on utilise la construction du parallélogramme.

11 Propriétés Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Réciproquement: Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme. Remarque :les phrases suivantes sont équivalentes. AB = DC.. ABCD est un parallélogramme.. C est limage de D par la translation de vecteur AB.. C est limage de D par la translation qui transforme A en B.

12 A B C F1F1 F2F2 F3F3 Construisons limage de F 1 par la translation de vecteur AB. On la note F 2. Construisons limage de F 2 par la translation de vecteur BC. On la note F 3. Conclusion :Il existe une translation permettant de passer directement de F 1 à F 3. Cest la translation de vecteur AC. III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs

13 A, B et C étant trois points du plan, la composée dela translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC est la translation de vecteur AC. Remarque: On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC. cette relation est appelée … « RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC 1) La relation de Chasles

14 « RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC Michel Chasles (Fr, ) : La relation nest pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne darc à sa mère, Vercingétorix à César,…) !

15 Construisons un représentant du vecteur u + v. 2) Construction de la somme de deux vecteurs Cliquez sur licône pour voir lanimation

16 IV. Composée de deux symétries centrales Cliquez sur licône pour voir lanimation

17 I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur IJ + IJ que lon note 2 IJ Remarque : Pour démontrer cette nouvelle propriété, on utilise la « propriété de la droite des milieux » dans le triangle AAA pour montrer que ( IJ ) // ( AA ) et que 2 IJ = AA


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