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DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat IV - 35 énoncés équivalents au 5 ème Postulat.

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1 DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat IV - 35 énoncés équivalents au 5 ème Postulat

2 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E è me demande ou postulat d Euclide: Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits. At-T ù s ì, Nas ì r ad-D ì n ( ); Girolamo Saccheri ( ) : Une perpendiculaire et une oblique à une sécante commune se coupent.

3 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 1 - Angles d é termin é s par deux parall è les et une s é cante : Proposition I-29 d Euclide : 1a - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, la somme des angles intérieurs dun même côté est égale à deux droits. 1b - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes internes sont égaux. 1c - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants dun même côté sont égaux.

4 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 2 - Parall è les et perpendiculaires Proposition I-30 d Euclide : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. Legendre, Andr é -Marie ( ) : Si 2 droites sont parallèles, toute perpendiculaire à lune est perpendiculaire à lautre. Bolyai, Janos ( ) : Par trois points non alignés il passe un cercle. d d' si d // d' et d, alors d' A B C O

5 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 3 - Droite passant par un point donn é et parall è le à une droite donn é e Axiome de John Playfair (d é but du XIX è ), d é j à é nonc é par Proclus de Lycie ( ap. J.C.) : Par un point extérieur à une droite passe au plus une parallèle à cette droite. Ibn Al-Haytam ( ) : Deux droites qui se coupent ne peuvent être toutes deux parallèles à une même droite. Proclus (V è si è cle ap. J.C.) : Lorsquune droite coupe lune des parallèles elle coupe lautre aussi.

6 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 4 - Somme des angles d un triangle Proposition 32 d Euclide, Al-Haytam (X è -XI è si è cles), Nas ì r ad-D ì n at-T ù si (XIII è si è cle), Saccheri (XVIII è ) : Les trois angles dun triangle sont égaux à deux droits. Proposition 32 d Euclide : Un angle extérieur dun triangle est égal aux deux angles intérieurs et opposés. Legendre (XIX è si è cle) : Il existe un triangle dont la somme des trois angles est égale à deux droits Axiome de Worpitzki : Il nexiste pas de triangle dans lequel chaque angle peut être choisi aussi petit que lon veut

7 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 4 - Somme des angles d un quadrilat è re Girolamo Saccheri (XVIII è ) : La somme des angles dun quadrilatère est égale à quatre angles droits. Alexis Claude Clairaut ( ) : Si dans un quadrilatère, 3 angles sont des angles droits, le quatrième est un angle droit.

8 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 5 - Sym é trie centrale Giuseppe Veronese ( ) : Si deux droites sont parallèles, elles sont symétriques lune de lautre par rapport au milieu M de tout segment joignant un point de lune à un point de lautre. Ingrami (1904) : Pour toute autre sécante QQ passant par M, M est aussi le millieu de [QQ] 6 - É quidistance des parall è les Posidonius d Apam é e ( av. J.C.), An-Nayr ì zi (900) : Les droites parallèles sont équidistantes. Posidonius, Geminus (Ier si è cle av. J.C.) : Il existe des droites qui sont équidistantes lune de lautre.

9 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 6 - É quidistance des parall è les Omar Al-Khayyam ( ) : Deux perpendiculaires à une même droite sont équidistantes Proclus (V è si è cle); Al-Khayyâm (XI è si è cle) : La distance entre deux parallèles est bornée. Proclus (V è si è cle) : Si deux droites sont sécantes, la distance dun point de lune à lautre nest pas bornée. Aganis (VI è si è cle ? ) : Par un point extérieur à une droite il passe toujours une droite équidistante de la première. Posidonius (Ier si è cle av. JC.); Al - Haytam (X è -XI è ) : Le lieu des points équidistants dune droite et situés dun même côté de cette droite est une droite Giardano Vitale ( ) : Il existe trois points alignés équidistants dune droite.

10 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 7 - Propri é t é s du rectangle Omar Al Khayyam (XI è -XII è ) ; Saccheri (XVIII è ): Un quadrilatère isocèle ayant deux angles droits a tous ses angles droits Thal è s (VI è si è cle av. J.C.) Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle. Saccheri (XVIII è ) : Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Al - Gauhar ì (VIII è - IX è ) : La médiane dun triangle rectangle est égale à la moitié de lhypothénuse

11 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 8 - Existence de figures semblables John Wallis ( ) : Pour une figure quelconque, il y en a toujours une autre, de grandeur quelconque, qui lui soit semblable. John Wallis ( ) : Pour tout triangle, il en existe un autre ayant un côté de longueur donnée et des angles égaux à ceux du triangle initial. Girolamo Saccheri (XVIII è ) : Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux deux à deux. Carl Friedrich Gauss ( ) : Il existe des triangles daire aussi grande que lon veut. « Si je pouvais montrer qu on peut construire un triangle contenant une aire donn é e, je serais capable de prouver rigoureusement toute la g é om é trie. »

12 É nonc é s é quivalents au 5 è me Postulat d Euclide E 9 - Positions relatives d une droite et d un angle Al - Gauhari (VIII è - IX è ); As - Samarkandi (XIII è ) : Par chaque point à lintérieur dun angle passe une droite qui coupe les deux côtés de langle. Adrien-Marie Legendre (XIX è ) : Dun point quelconque intérieur dun angle plus petit que deux tiers dun angle droit, on peut mener une droite qui rencontre les deux côtés de langle.


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