Pour Maths en 3B 2011 Drôles d’escaliers par les CM2 de Philippe Roux, Camille Claudel Bruges.

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1 pour Maths en 3B 2011 Drôles d’escaliers par les CM2 de Philippe Roux, Camille Claudel Bruges

2 …de drôles d’escaliers… Il faut une brique pour faire un escalier d’une marche : Il faut une brique pour faire un escalier d’une marche : Il faut 3 briques pour faire un escalier de 2 marches : Il faut 3 briques pour faire un escalier de 2 marches : Il faut 6 briques pour faire un escalier de 3 marches : Il faut 6 briques pour faire un escalier de 3 marches : Combien faudra-t-il de briques pour un escalier à 21, 40, 54, 62, 112 et 6000 marches? L'énigme à résoudre…

3 On a fait des groupes de recherche, on a compté… On a fait des groupes de recherche, on a compté… En dessinant et en construisant les escaliers, les 5 groupes de la classe étaient d’accord avec ces résultats En dessinant et en construisant les escaliers, les 5 groupes de la classe étaient d’accord avec ces résultats marchescubes 11 23 36 410 515 621 Alors on s’est organisé…

4 Mais pour les autres résultats personne n'était d’accord car c’était trop difficile de dessiner ces grands escaliers et d’en compter les marches… Alors Harold est arrivé avec sa calculette… Il a remarqué que  pour un escalier de 3 marches on compte 1 + 2 + 3 cubes donc 6 cubes  pour un escalier de 4 marches on compte 1 + 2 + 3 + 4 cubes on compte 1 + 2 + 3 + 4 cubes donc 10 cubes donc 10 cubes

5 donc pour 40 marches on a tapé sur la calculette 1 + 2 + 3 + … + 40 = 820 cubes Pour trouver 112 marches avec la méthode d’Harold, on est donc parti de 820 cubes et on a ajouté + 41 + 42 + 43 + … jusqu’à + 112… et on a trouvé… 6328 cubes. C’est encore juste mais c’est vraiment très très long… Même avec la calculette cette méthode est longue et peu efficace surtout avec des grands nombres comme 6000 marches … C’est juste mais c’est long…

6 Léo a sa méthode que lui seul sait utiliser… mais il a du mal à nous l’expliquer et donc personne n’y comprend rien (à part lui-même …) Exemples : pour 40 marches [ (40 x 40) : 2 ] + 20 = 820 cubes pour 54 marches [ (54 x 54) : 2 ] + 27 = 1485 cubes pour 112 marches [ (112 x 112) : 2 ] + 56 = 6328 cubes

7 De son côté, Juliette a remarqué que quand on additionnait les extrémités cela donnait tout le temps les mêmes résultats… Exemple pour un escalier de 10 marches On doit calculer : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 On commence donc par 1 + 10 = 11 puis 2 + 9 = 11 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 5 + 6 = 11 Il y a 5 paires de 11. Donc pour terminer on fait 11 x 5 = 55.

8 Mais pour les grand nombres, le problème est qu’on ne sait pas compter les paires donc on a amélioré la méthode et on a trouvé qu’il fallait additionner les extrémités en faisant M + 1 et en multipliant par le nombre de paires (M : 2) nous avons pensé donc qu’on arriverait peut-être à un résultat et voilà où on en est venu: Avec les résultats :MarchesCubes 21 21 231 231 40 40 820 820 54 54 1 485 1 485 62 62 1 953 1 953 112 112 6 328 6 328 6000 6000 18 003 000 On parle, on parle, les résultats sont justes mais vous suivez le raisonnement… ou vous dormez ? C = (M : 2) X (1 + M) M= marches et C= cubes

9 C’est alors que notre chercheur en maths qui est une chercheuse… nous a posé la question suivante… Sur une feuille, dessinez un quadrillage rectangulaire qui fait 18 cases sur 19 cases. Dans ce quadrillage, essayez de découper le plus grand escalier possible, sachant qu’il doit être en un seul morceau. Que remarquez-vous ? Refaites l’essai avec 25 cases sur 26 cases, ou bien 7 cases sur 8 cases. Est-ce qu’avec cette méthode, vous arrivez à retrouver votre formule ? Nous en tous cas dans la classe on dormait, ou plutôt on n’avançait plus dans notre raisonnement et on tournait en rond…

10 C’est ce qu’on a fait… … et alors nous avons trouvé quelque chose de plus simple grâce aux quadrillages... Voici un quadrillage de 7 cases sur 8 cases On constate qu’on peut le couper en 2 escaliers identiques de 7 marches Et voilà… pour un quadrillage de 7 sur 8 cases on obtient 2 escaliers identiques de 7 marches donc pour un escalier de 7 marches on a 7 x 8 = 28 cubes 2

11 Pour un quadrillage de 18 sur 19 cases on obtient 2 escaliers identiques de 18 marches et donc pour un escalier de 18 marches on a 18 x 19 = 171 cubes 2 Pour un quadrillage de 25 sur 26 cases on obtient 2 escaliers identiques de 25 marches et donc pour un escalier de 25 marches on a 25 x 26 = 325 cubes 2

12 Nous avions donc et enfin trouvé la formule… C = cubes M = marches

13 En conclusion voilà la formule universelle (pour ne pas dire magique...) Si l'on veut calculer 1 + 2 + 3 + 4 + 5...... + N (N étant n'importe quel nombre), il nous faut appliquer la formule:

14 Notre chercheuse en maths nous a posé une autre question… Quel est le plus grand escalier que vous pourrez construire avec 496 cubes, puis avec 1300 cubes et enfin avec 5100 cubes ? BONUS 1

15 496 cubes  31 marches 31 x 32 = 496 2 1300 cubes  50 marches 50 x 51 = 1275 il reste 25 cubes en trop 2 5100 cubes  100 marches 100 x 101 = 5050 il reste 50 cubes en trop 2 Réponse par tâtonnement pour trouver, on a fait des essais par approche

16 Notre chercheuse en maths nous a posé une dernière question… BONUS 2 Ce matin, j'avais une réunion avec d'autres profs de maths. Tout le monde se serrait la main pour se dire bonjour, et on était 20 en tout. Pouvez-vous trouver combien de poignées de mains ont été données ?

17 Alors, nous avons pris 20 élèves et ils se sont tous serré la main… et nous avons compté les poignées de mains échangées…

18 ça faisait 19 + 18 + 17 + 16 +... + 2 + 1 poignées de mains échangées car le 1 er devait serrer 19 mains, le 2 ème 18 mains, le 3 ème 17 mains... et ça jusqu'au 19 ème qui serre la main du 20 ème mais qui ne se serre pas la main lui-même...

19 donc on a utilisé la formule 19 x 20 = 190 2 190 poignées de mains ont donc été données. ça faisait 19 + 18 + 17 + 16 +... + 2 + 1 poignées de mains échangées

20 Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) est un célèbre mathématicien allemand... Voici une petite histoire le concernant Gauss, l'enfant prodige... A l'école primaire, Gauss, était un enfant prodige ce qui agaçait son instituteur. Ce dernier pour se « débarrasser » de lui, demanda à Gauss de calculer la somme des 50 premiers entiers positifs, c'est-à-dire 1+2+3+4+...+50. L'instituteur pensait ainsi occuper Gauss pour toute la journée. Hélas l'instituteur s'était réjoui trop vite, 5 minutes plus tard Gauss interpella l'instituteur : « 1275 » fit-il, ce qui laissa l'instituteur bouche-bée...

21 Mais comment avait-il fait ? Et bien comme nous... mais bien plus vite... Gauss avait très vite remarqué, comme l'a fait Juliette, que la somme des "termes symétriques" (de cette somme) est toujours égale à 51… 1+50 =51 ; 2+49 = 51 ; 3+48 = 51;... ; 25+26 = 51 et il y a ainsi 25 couples égaux à 51. D'où : 1+2+3+4+...+50 = (1+50)+(2+49)+(3+48)+(4+47)+...+(25+26) = 51x25 = 1275.

22 Prodigieux... plutôt que de faire l'addition longue, bête et méchante, Gauss en réarrangeant les termes de cette somme avait ramené le problème en une opération simple... C'est ça être bon en maths...