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Correction narration de recherche problème n°7 : Le Combat entre lHomme et la Machine.

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2 Correction narration de recherche problème n°7 : Le Combat entre lHomme et la Machine

3 Quel Combat ? Non : on veut savoir lequel calcule le mieux.

4 Regardons lénoncé En math, 2 5 veut dire On dit 2 élevé à la puissance 5. 1)Combien vaut 3 5 2)Combien vaut 7 5 ? 3)Combien vaut 11 5 ? 4)Quel est le chiffre des unités de 5 5 ? 20 5 ? 41 5 ? 72 5 ? 98 5 ? 99 5 ? ? ? ? ?

5 Début de la recherche Vous vous lancez dans les calculs de puissance. Mais que veut dire 3 puissance 5?

6 La même question dans tous les groupes : Est ce que 3 5 =3 5 ? Vous en débattez mais les débats napparaissent pas toujours dans vos copies

7 Ou ailleurs : Vous aboutissez à une vraie réflexion mathématique :

8 Une fois daccord sur la notion de puissance (qui fait partie du programme de 4°), vous commencez à calculer.

9 Certains nindiquent pas comment ils calculent, les résultats sont vaguement écrits. Alors quune ou deux phrases suffisent La calculatrice vous permet davancer assez vite …

10 Tous les groupes les uns après les autres font la même constatation : Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?

11 Certains se posent des questions : Dautres utilisent ce truc sans chercher à le prouver.

12 Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ? Ce sera notre discussion dans quelques instants… Est ce que le chiffre des unités du résultat est celui du départ? Mais dabord, regardons un peu la suite du problème…

13 Lapparition des difficultés Arrivent ensuite plusieurs difficultés : Autant dire, je nai pas trop envie de travailler…

14 Lapparition des difficultés Mais la vraie difficulté vient de la calculatrice

15 Lapparition des difficultés

16 Certains ne se posent aucune question et recopient une partie de ce quils lisent

17 Lapparition des difficultés Mais au fait, pourquoi la calculatrice ne veut pas écrire la réponse ? = = Donc la calculatrice ne permet pas de répondre aux dernières questions…

18 Il faut trouver autre chose que la calculatrice pour les grands nombres… Quel est le chiffre des unités de 5 5 ? 20 5 ? 41 5 ? 72 5 ? 98 5 ? 99 5 ? ? ? ? ? 3 méthodes possibles : 1)Calculer à la main 2)Chercher une calculatrice plus performante 3)Trouver un « truc » qui fonctionne à tous les coups

19 Où est la méthode? Avant de voir les 3 méthodes, remarquons que certains concluent sans expliquer, écrivant des nombres « au hasard? » Ces résultats sont à lencontre du « truc » que TOUT le monde a remarqué.

20 1ère méthode : calculer à la main Méthode peu utilisée pour les grands nombres… Attention à lécriture mathématique …

21 1ère méthode : calculer à la main Et le calcul est correct…

22 1ère méthode bis : calculer à la main intelligemment

23 2ème méthode : chercher une autre calculatrice plus performante Un exemple : Excel

24 3ème méthode : trouver un truc Au fait : est ce que ça marche? Est ce que ça marche TOUT LE TEMPS, pour tous les nombres? Il faut le vérifier !!!

25 3ème méthode : trouver un truc 1)Où sont les vérifications? 2)Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres? Deux questions?

26 3ème méthode : trouver un truc Cest le même problème ! 1)Où sont les vérifications 2)Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres

27 3ème méthode : trouver un truc Certains dentre vous ont bien suivi les conseils que nous avons donnés :

28 Prouver « le truc »

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30 Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs. Ex : = 6 3 Le 6 est mis en retenue… Donc il reste à poser le 3 Quon ajoute à rien du tout à cause du zéro « de décalage ».

31 Prouver « le truc » Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs. Ex : = 2 5 Le 2 est mis en retenue… Donc il reste à poser le 5 Quon ajoute à rien du tout à cause des zéros « de décalage ».

32 Prouver « le truc » Si maintenant on veut multiplier On retrouve le chiffre des unités comme la multiplication des chiffres des unités. Donc = Donc il suffit de regarder le chiffre des unités : = 24…

33 Prouver « le truc » Donc pour trouver le chiffre des unités de 101 5, il suffit de calculer =1 Donc le chiffre des unités de est 1. Donc pour trouver le chiffre des unités de 127 5, il suffit de calculer = Donc le chiffre des unités de est 7. Maintenant regardons tous les chiffres élevés à la puissance 5

34 Prouver « le truc » Et là, on est sur que tout nombre qui se termine par 0, si on lélève à la puissance 5, le résultat finira par 0 tout nombre qui se termine par 1, si on lélève à la puissance 5, le résultat finira par 1 Et ainsi de suite…

35 On résume Qua t on démontré? 1)Dans une multiplication, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités 2)Et si un nombre est élevé à la puissance 5, le chiffre des unités est le même que celui de départ. Ceci est dû aux résultats de 0 5 ;1 5 ; 2 5 ;… On prolonge ?


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