Techniques quantitatives Cours 5

Techniques quantitatives Cours 5
Hubert LASSERRE ORGALOG-CONSEIL

Notions de théories des probabilités
Variables aléatoires et lois de probabilité discrètes Fonction de répartition, espérance mathématique, variance et écart-type Somme de variables aléatoires Lois continues : loi normale Définition Variable centrée réduite Usage d’une table de la loi Normale Intervalles de confiance bilatéraux de la loi Normale

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
Objectifs Les modèles mathématiques permettent de formaliser le comportement des phénomènes aléatoires. Après avoir défini le concept de probabilité, il convient de définir le concept de variable aléatoire. Dans une première approche nous dirons qu'une variable aléatoire consiste à attribuer à chaque résultat de l'expérience aléatoire un nombre.

Objectifs Par exemple en jouant à pile ou face avec une pièce de monnaie, si le côté pile apparaît vous gagnez 100 euros, si le côté face apparaît vous perdez 100 euros (ou vous gagnez euros). Cette variable aléatoire est discrète car elle prend des valeurs isolées et

Objectifs Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire consiste à déterminer les probabilités des différentes valeurs de cette variable aléatoire. Dans cet exemple la variable aléatoire prend les valeurs et avec les probabilités de 1/2 et 1/2. Les variables aléatoires (v. a.) ou aléas numériques sont définies avec des nombres réels.

Définition d'une variable aléatoire discrète Soit l'univers Ω, constitué d'un nombre fini d'éléments ou d'une infinité dénombrable d'éléments. Ω = {ω1, ω2, …, ωi, …, ωn, …} Définir une variable aléatoire X consiste à associer à chaque élément ω de Ω un nombre réel x.

Définition d'une variable aléatoire discrète Ω R. ω X(ω) = x

Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire discrète Définition Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l'univers Ω. La probabilité de l'événement (X = xi) est la probabilité de l'union des événements de Ω qui ont pour image xi.

Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire discrète Définition Si ω2, ω4, ω7 vérifient : X(ω2) = X(ω4) = X(ω7) = xi alors P(X = xi) = pi = P(ω2 U ω4 U ω7) = P(ω2) + P(ω4) + P(ω7) La loi de probabilité de X est l'ensemble des couples (xi, pi) ; elle peut être présentée dans un tableau.

x x1 x2 … xi xn Total P(X=x) p1 p2 pi pn 1

Pour tout xi, P(X = xi) = pi ≥ 0 et Ʃpi = 1 Une loi de probabilité discrète est définie par les couples (xi,pi) avec P(X = xi) = pi ≥ 0 et Ʃpi = 1

Loi d’un couple de variables aléatoires Soit X une variable aléatoire définie sur Ω1 et Y une variable aléatoire définie sur Ω2 X(ω1) = x et Y(ω2) = y, Z = (X,Y) est un couple de variables aléatoires (X, Y) z = Z(ω1,ω2) = (X(ω1),Y(ω2)) = (x,y) La loi de Probabilité du couple de variables aléatoires (X, Y) est définie par l'ensemble des Couples (x, y) et les probabilités d'obtenir ces couples (désignée également par loi conjointe).

Loi d’un couple de variables aléatoires Ainsi si l'on note : pij = P(X = xi ;Y = yi) pij = P(X = xi) . P(Y = yj/X = xi) pij = P(Y = yj) . P(X = xi/Y = yi)

Loi d’un couple de variables aléatoires Les variables X et Y sont indépendantes si tous les événements X = xi et Y = yj le sont, c'est-à-dire : pij = P(X = xi) . P(Y = yi) = pi.pj Pour tout i et tout j : pij = pi . pj <=> X et Y sont indépendantes La modélisation la plus classique en statistique inductive sur les intervalles de confiance, les tests, se base sur des variables aléatoires indépendantes en probabilité.

Loi de probabilité du couple (X,Y)
… yj yq Total x1 p11 p12 p1j p1q p1. x2 p21 p22 p2j p2q p2. xi pi1 pi2 pij piq pi. xp pp1 pp2 ppj ppq pp. p.1 p.2 p.j p.q p.. = 1

Composition de plusieurs variables aléatoires une variable aléatoire est définie comme une application en mathématiques. Il est donc possible de faire avec les variables aléatoires toutes les opérations classiques des applications : la somme, le produit, le quotient de deux variables aléatoires. Soit : X une variable aléatoire définie sur Ω, Sx = {ensembles des valeurs x} Y une variable aléatoire définie sur Ω, Sy = {ensembles des valeurs y}

Composition de plusieurs variables aléatoires Addition Z = X + Y Pour ω є Ω, Z(ω) = (X + Y)(ω) = X(ω) + Y(ω), soit z = x + y. Cette relation définit la loi d'addition de deux variables aléatoires, elle a été notée + pour la distinguer du signe + qui concerne l'addition des nombres réels. Pour la suite on emploie le même symbole et on note : Z = X + Y.

Espérance mathématique et moments non centrés d’une variable aléatoire discrète
Objectifs Blaise Pascal, dans une lettre à Fermat le 29 juillet 1654, introduit la notion d'espérance à propos d'un problème posé par le chevalier de Méré. Dans un jeu de pile ou face, chaque joueur mise 32 pistoles, le joueur qui a obtenu trois manches consécutives empoche le total, soit 64 pistoles.

Objectifs Les joueurs sont obligés de se séparer alors que l'un des deux a gagné une manche ; comment partager les 64 pistoles ? 32 et 32 est-il un partage équitable ? Non, pense Pascal puisque le joueur qui a gagné une manche a plus de chances de gagner la partie ; aussi Pascal plutôt que de laisser à chacun sa mise propose de partager les 64 pistoles en fonction de l'espoir de gain de chacun, c'est ainsi qu'est apparue cette notion d'espérance mathématique, le nom est resté.

Objectifs En statistique descriptive la moyenne arithmétique est la caractéristique de tendance centrale la plus utilisée pour résumer une distribution. En probabilité, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, notée E(X) , est la caractéristique de tendance centrale la plus utilisée pour résumer une distribution.

Objectifs Les moments permettent de calculer d'autres caractéristiques d'une distribution de probabilité (variance, asymétrie...). Lorsque la moyenne exacte d'une population est inconnue, la moyenne d'un échantillon issu de cette population fournit une approximation de la moyenne exacte de la population.

Objectifs Lorsqu'un échantillon peut être modélisé comme les réalisations d'une variable aléatoire, la moyenne x des réalisations x1, x2, , xi, , xn de cette variable aléatoire X fournit une valeur approchée de l'espérance mathématique E(X) lorsque cette valeur est inconnue. Il est possible de donner une idée de la précision du résultat par un intervalle de confiance.

Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète : E(X) La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant : X = x x1 x2 … xi xn Total P(X=x) p1 p2 pi pn 1

L’espérance mathématique de X est le nombre : E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pixi + … = pnxn E(X) = Ʃpixi

Exemple : Calculez l’espérance mathématique du tirage suivant : X = x - 200 50 100 300 P(X=x) 0,25 0,40 0,10

Propriétés : E(aX) = a E(X) E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X.Y) = E(X) . E(Y) si X et Y sont indépendants

Variance et moments centrés d’une variable aléatoire discrète
Objectifs Résumer une distribution ou une loi de probabilité par une seule caractéristique de valeur centrale telle que l'espérance mathématique est insuffisant. Après des expériences aléatoires, les réalisations de cette variable aléatoire se dispersent autour de cette valeur centrale. La caractéristique de dispersion la plus utilisée est la variance.

Objectifs L'écart type est la racine carrée de la variance. L'espérance mathématique et la variance (ou l'écart type) constituent les deux principales caractéristiques d'une variable aléatoire ou d'une loi de probabilité.

Objectifs Lorsque la variance exacte d'une population est inconnue, la variance d'un échantillon issu de cette population fournit une approximation de la variance exacte. Lorsqu'un échantillon peut être modélisé comme les réalisations d'une variable aléatoire, il est possible de donner une idée de la précision du résultat sur la variance par un intervalle dit de confiance.

Définition de la variance et de l’écart-type Soit une loi de probabilité d’une variable aléatoire X définie par l’ensemble des couples (xi,pi) X = x x1 x2 … xi xn Total P(X=x) p1 p2 pi pn 1

V(X) = E[X – E(X)]² V(X) = Ʃpixi (xi – E(X))² En posant E(X) = m, il vient : V(X) = Ʃpixi (xi – m)² L’écart-type σx est la racine carrée de la variance : σx = V(X)

Formule développée de la variance V(X) = E(X²) – [E(X)]² Propriétés : V(a) = 0 V(X + a) = V(X) V(aX) = a² V(X) V(-X) = V(X)

Covariance et corrélation de deux variables X et Y Cov (X,Y) = E[(X – E(X)) (Y – E(Y))] Cov(X,Y) = E(X,Y) – E(X).E(Y) Cov(X,Y) = ƩƩpij xiyj – (Ʃpi. xi) (Ʃp.j yj)

Covariance et corrélation de deux variables X et Y Si deux variables sont indépendantes : E(X) . E(Y) = E(XY) Cov(X,Y) = 0 Cov(X,Y) = Cov(Y,X) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) Cov(X,X) = V(X)

Variable centrée réduite Soit une variable aléatoire X ayant pour espérance E(X) = m et un écart-type σx Y = X – E(X) est la variable centrée σx réduite associée à X. Elle vérifie E(Y) = 0 et V(Y) = 1

Remarque Ce changement de variable est très utilisé en statistique lorsque l'on étudie la variabilité d'un phénomène lié à la variabilité de plusieurs variables hétérogènes. La variabilité, en terme de variance, dépend du choix des unités et une façon de donner une influence équilibrée à chaque variable est de les transformer en variables centrées réduites.

Variance de l’addition de deux variables aléatoires V(X+Y) = V(X) + V(Y) + Cov(X,Y) V(X-Y) = V(X) + V(Y) - Cov(X,Y) V(aX+bY) = a²V(X) + b²V(Y) + ab Cov(X,Y) V(aX-bY) = a²V(X) + b²V(Y) – ab Cov(X,Y) X et Y indépendants : V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Objectifs La loi de Laplace-Gauss joue un rôle particulièrement important dans la théorie des probabilités et en statistique car c'est une loi limite vers laquelle tendent les autres lois de probabilités pour des conditions que l'on rencontre fréquemment dans la pratique. C'est pour cette raison qu'il est d'usage courant de la désigner par le terme de loi normale.

Objectifs C'est pour cette raison qu'il est d'usage courant de la désigner par le terme de loi normale. En particulier, le résultat suivant qui découle du théorème central limite revient souvent : la somme ou la moyenne de plus de trente variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi de probabilité suit approximativement une loi normale.

Objectifs En appliquant ce résultat, il est facile de constater qu'une somme de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, qui constitue une loi binomiale se rapproche d'une loi normale. Lors d'un sondage d'opinions, le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent une caractéristique donnée obéit à une loi binomiale et le pourcentage observé correspondant peut être approximé par une variable aléatoire normale ; cela facilite le traitement des résultats en statistique.

Une variable aléatoire normale X dépend de deux paramètres, l'espérance mathématique m = E(X) et l'écart type noté σ ou σx. Il existe une infinité de lois normales différentes lorsque m et σ varient. La variable aléatoire T = X – m σ vérifie E(T) = 0 et σT = 1.

Dans le cas où X suit une loi normale, T suit aussi une loi normale. Pour un calcul de probabilités sur X, il est d'usage courant d'utiliser la table qui donne la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite notée T ou U ou V.

Loi normale centrée réduite T est la variable centrée réduite si sa densité en tout point réel t est la suivante : f(t) = e-1/2t² 2π t є ]-∞, +∞[

Graphe de la densité L’aire totale de la courbe est égale à 1

E(T) = 0 (symétrie) P(T > 0) = P(T < 0) = 0,5 V(T) = 1 σT = 1

Loi normale centrée réduite P(t1<T≤t2) = f(t) dt = F(t2) – F(t1) t2 t1

F primitive de f ne correspond pas à un type de fonction connue, des tables statistiques pallient cet inconvénient en fournissant pour les valeurs de t positives les quantités : F(t) = P(T≤t) = e-1/2x² dx 2π

Loi normale de paramètres m et σ : N(m,σ) La densité de probabilité d'une variable aléatoire normale X de paramètres m et a est définie dans lR de la façon suivante : F(x) = e-1/2[(x-m)/ σ]² 2πσ Et vérifie f(x) dx = 1 +∞ -∞

Graphe de f

Espérance mathématique E(X) = m Ce résultat est évident du fait de la symétrie par rapport à la droite d'équation x = m ; P(X < m) = P(X > m) = 0,5 ; la médiane est aussi égale à m.

Variance V(X) = σ² Relation entre la loi normale centrée et une variable quelconque Si X N(m,σ) alors T = X – m N(0,1) σ Si T N(0,1) alors X = m +Tσ N(m,σ)

Additivité (X1 + X2) N(m1 + m2 ; √ σ1² + σ2²)

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