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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Résolution de système déquations non- linéaires (racines déquations) u Méthode de Newton-Raphson u Convergence.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Résolution de système déquations non- linéaires (racines déquations) u Méthode de Newton-Raphson u Convergence de la méthode u Méthode de la sécante u Travail pratique 2 b)

3 Méthodes de Newton-Raphson u Cette méthode converge plus rapidement que la méthode de bissection u La méthode de Newton est basée sur lutilisation de la portion linéaire de la série de Taylor

4 Méthodes de Newton-Raphson u Nous avons une racine quand f(x) = 0, alors

5 Méthodes de Newton-Raphson u Nous pouvons alors estimer une nouvelle valeur de la racine (x 1 ) à partir dune estimation initiale x 0. u Nous pouvons alors raffiner lestimation de la valeur de la racine (x 1 ) de façon itérative

6 Méthodes de Newton-Raphson u Si f(x) est linéaire nous obtenons la solution au premier essai u Si f(x) est non linéaire, la série de Taylor est seulement valide pour de petits x u Les termes non linéaires tronqués de la série de Taylor influence la précision de la solution

7 Méthodes de Newton-Raphson u À partir dune estimation initiale dune racine x 0 nous calculons une nouvelle estimation x 1 et ce itérativement jusquà lobtention de la solution u La nouvelle estimation x i+1 est toujours estimée à partir de la dernière estimation x i.

8 Méthodes de Newton-Raphson

9 Méthode de Newton-Raphson u Algorithme de Newton NEWTON_RAPHSON(float x0, int nbiterMAX, float delta, float eps) v = f(x0) nbiter = 0 imprimer nbiter,x0,v deltax1x0 = MAXFLOAT TANT QUE nbiter delta ET |v| > eps FAIRE x1 = x0-v/f(x0) v = f(x1) imprimer nbiter, x1,v deltax1x0 = x1- x0 x0 = x1 nbiter = nbiter + 1 FIN TANT QUE

10 Convergence de la méthode u Dans certains cas lalgorithme de Newton ne converge pas f (x i ) -> 0

11 Convergence de la méthode u Dans certains cas lalgorithme de Newton ne converge pas f (x i ) / f(x i ) = -f (x i+1 ) / f(x i+1 )

12 Convergence de la méthode u Dans certains cas lalgorithme de Newton ne converge pas f (x i ) / f(x i ) = -f (x i+1 ) / f(x i+1 )

13 Convergence de la méthode u Dans certains cas lalgorithme de Newton ne converge pas (ou converge lentement) f(x i ) >>> f(x i )

14 Méthode de la sécante u La seule différence avec la méthode de Newton- Raphson réside dans le calcul numérique de la dérivée f(x) u Une nouvelle estimation de la racine x i+1 est déduite à partir des valeurs de la fonction f(x i ) et f(x i-1 ) et des estimations précédentes des racines x i et x i-1.

15 Méthode de la sécante u La valeur de la pente f(x) est alors donnée par u La nouvelle estimation de la racine est donnée par

16 Méthode de la sécante

17 u Algorithme de la sécante SECANTE(float x0, float x1, int nbiterMAX, float delta, float eps) u = f(x0) v = f(x1) nbiter = 0 imprimer nbiter,x0,u nbiter++ imprimer nbiter,x1,v deltax1x0 = MAXFLOAT TANT QUE nbiter delta ET |v| > eps FAIRE SI |u| < |v| ALORS Permuter x0 et x1, u et v FIN SI

18 Méthode de la sécante u Algorithme de la sécante TANT QUE nbiter delta ET |v| > eps FAIRE SI |u| < |v| ALORS /* POUR ÉVITER LA DIVERGENCE */ Permuter x0 et x1, u et v FIN SI s = (x1-x0)/(v-u) /* = 1/f (x1) */ x0 = x1 u = v x1 = x0-v*s v = f(x1) imprimer nbiter, x1,v deltax1x0 = x1- x0 nbiter = nbiter + 1 FIN TANT QUE

19 Travail pratique 2 b u Utilisation des méthodes de Newton et de la sécante


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