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1 Distances à grand red-shift Espace courbe et déviation géodésique Philippe Magne 2004.

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1 1 Distances à grand red-shift Espace courbe et déviation géodésique Philippe Magne 2004

2 2 INTRODUCTION Ce sont les distances qui nous séparent actuellement de lieux extrêmement éloignés. Par contre, la lumière que nous en recevons présentement fut émise dans un passé lointain, alors quils étaient très proches de nous. En plus, le spectre de cette lumière est reçu fortement décalé vers linfrarouge et même les ondes millimétriques, donc invisible à lœil humain. Paradoxes dus à lexpansion vertigineuse de lespace ! Lordre de grandeur de ces distances est voisin de lhorizon des particules déjà calculé dans dautres chapitres. Elles concernent la zone évènementielle de lespace temps où se sont figées les germes des grandes structures dues, par ailleurs à linstabilité gravitationnelle.

3 3 Nous rappellerons dabord comment lunivers est devenu transparent alors quà lorigine il était opaque. La cause en fut le découplage des électrons et des photons. On se situe à la limite de lobservable sans toutefois atteindre lhorizon des particules, le red- shift correspondant est de z=1089, dans une épaisseur =195 ( daprès les résultats de la mission WMAP ). Précisons que si lunivers, dans son état primitif très dense et très chaud, était opaque à la lumière, il ne létait pas aux ondes acoustiques du fait de lantagonisme entre gravitation et pression des photons couplés aux électrons, eux mêmes en

4 4 interaction avec les protons et la matière noire, cest un plasma appelé « fluide photon / baryon ». Enfin, on montrera les curieuses conséquences de la courbure de lespace – temps, à ne pas confondre avec celle de lespace (lui même), sa géométrie pouvant être dailleurs euclidienne ou non euclidienne, celle de lespace – temps étant toujours courbe par suite de la présence de matière. Cette courbure a pour conséquence une variation surprenante du diamètre apparent dun astre de dimension physique connue et invariante, ne subissant pas lexpansion ( par exemple une galaxie). Lorsque que la distance de cet astre augmente par rapport à lobservateur, le diamètre

5 5 apparent commence normalement à diminuer, passe par un minimum, puis se met ensuite à croître de plus en plus. Cest une « coquetterie » du fuseau de lumière, cône de lumière du passé de lobservateur déformé par la gravitation ( il se referme sur la singularité initiale ). Il nen va pas de même pour les extrémités dune distance transverse à la ligne de vue qui, elle, subit lexpansion. Cette distance entre dans la catégorie comobile.

6 6 CRITERE DOPACITE DE LUNIVERS Cest le couplage des électrons et des photons qui est la cause de lopacité du milieu primitif. Lorsque la matière est ionisée, le plasma contient autant délectrons que de protons en vertu de sa neutralité globale et les électrons ont aussi trop dénergie cinétique pour pouvoir se coupler avec les protons. Pendant leur voyage les photons entrent souvent en collision avec les électrons: cela amène à définir un temps de libre parcours qui, comparé avec lâge de lunivers révèle lopacité ou la transparence du milieu

7 7 Le temps de libre parcours est donné par: en secondes : nombre délectrons par m 3 c : vitesse de la lumière en m / s : section de choc de lélectron libre e : charge de lélectron x coulomb : coefficient des unités MKSA = x 10 9 m e : masse de lélectron x kg

8 8 Nous allons maintenant considérer trois époques : 1° Celle qui correspond à légalité du rayonnement et de la matière ( R=M ), les paramètres figurent dans le chapitre « Les trois Omégas de lUnivers » z=3276, époque ans, température 8934 K facteur déchelle a = 3 x Pour évaluer le nombre N e délectrons par m 3 nous utilisons les résultats publiés par la mission WMAP à savoir que la densité de matière baryonique est de lordre de 4% de la densité critique au temps présent. Celle-ci vaut environ kg / m 3 et donc celle de la matière baryonique 4 x kg / m 3 le facteur déchelle étant a=1. La densité de matière varie comme a -3

9 9 On en déduit quà lépoque où R=M la densité des baryons ( en loccurrence les protons ) était : A cette époque lunivers était un plasma dont la neutralité globale impose quil y ait autant délectrons que de protons, en divisant la densité de baryons par la masse du proton on obtient le nombre délectrons: par m 3 Le temps de libre parcours est ou 200 ans. Au regard de lâge de lunivers ans celui-ci est opaque.

10 10 2°Celle où la température a suffisamment chu pour que les électrons commencent à se découpler des photons. Nous adoptons les paramètres suivants: z=1089, époque ans, température 2971K on trouve secondes ou 5434 ans Au regard de lâge de lunivers ( ans ) celui-ci est encore opaque. 3°Celle où les protons ont capturé les électrons, le milieu est alors occupé par un gaz dhydrogène, on est alors situé dans lépaisseur Il faut alors corriger la section de choc par le facteur:

11 11 k : constante de Boltzmann x eV / K T : température 2971 K W I : énergie de létat fondamental atome dhydrogène eV On trouve 543 millions dannées Au regard de lâge de lunivers, un peu plus de ans, il devient transparent..

12 12 DIAMETRE APPARENT EN FONCTION DE LA DISTANCE A LOBSERVATEUR Rappelons tout dabord une chose importante concernant les lignes dunivers parcourue par les rayons lumineux : elles sont situées sur le cône de lumière du passé de lobservateur, en loccurrence le fuseau de lumière, nom que nous lui avons donné à cause de son repliement sur la singularité initiale. La figure 1 est un espace-temps plat, le plan de simultanéité x 0 y 0 perpendiculaire à laxe temps est le lieu des évènements qui se produisent à linstant t 0 cest à dire au temps présent

13 13 Le plan de simultanéité x e y e correspond à linstant t e où la lumière commença à être émise.Cette façon de présenter les choses porte le nom de « feuilletage » de lET, dune manière générale les axes de temps cosmique sont perpendiculaires en tout point aux surfaces de feuilletage, même si elles sont courbes. Par ailleurs, les rayons lumineux issus des extrémités du diamètre physique appartiennent aux plans 1 et 2 faisant entre eux langle,ils sont perpendiculaires aux plans de simultanéité. Remarquer les distances démission D e et de réception D R on a évidemment

14 14 Figure 1

15 15 Par la pensée, faisons glisser le diamètre depuis jusquà en ayant soin que les extrémités de ce diamètre restent sur les lignes dunivers désignées « lumière ». La contrainte que les plans 1 et 2 contiennent les extrémités de implique que langle varie pendant ce transport virtuel : il va commencer par décroître, passer par un minimum lors du passage au maximum de la distance démission, ensuite augmenter de plus en plus lorsquil sapproche de la singularité 0. On peut calculer en fonction de la distance de réception D R de la manière suivante:

16 16 Pour connaître D R nous utilisons la formule établie dans le document «Distances et horizons cosmologiques » dans la condition Saisir dans MAPLE : evalf( *Int((0.27*a+0.73*a^ )^ (-1 / 2),a=a e...1)); On obtient D R en Mpc D e =a e D R Un tableau donne un peu plus loin les résultats de calcul pour < a e <

17 17 La première colonne concerne le red-shift z La deuxième colonne le facteur déchelle a e La troisième, la distance de réception D R, on rappelle que cest la distance au temps présent de lastre observé. La quatrième la distance démission, celle qui nous en séparait au moment où elle a émis la lumière que nous recevons aujourdhui. La cinquième concerne un exemple, il sagit du diamètre apparent exprimé en secondes darc dune galaxie de diamètre physique 50kpc La sixième est une échelle exprimée en secondes darc

18 18

19 19 La sixième permet ceci : Ayant observé un astre et mesuré son diamètre apparent, en multipliant le nombre de secondes darc trouvé par léchelle correspondant à son z, on obtient le diamètre physique en kiloparsecs. Voir le tableau de calcul et la figure 4

20 20

21 21

22 22

23 23 DISTANCES COMOBILES SEPARANT LES AMAS DE MATIERE AU SORTIR DE LOPACITE Se reporter à la figure 5 qui ressemble à la figure 1 dont elle diffère essentiellement par le fait que les extrémités de sont remplacées par deux amas de matière distincts Le volume de chaque amas ne subit pas lexpansion car la gravitation locale assure leur cohésion. Par contre la distance métrique qui les sépare croît comme le facteur déchelle, cest une distance comobile. Les coordonnées de G 1 et de G 2 dans le référentiel comobile ne changent pas ( voir La Cosmologie baba )

24 24 Doù viennent ces amas? Leur origine est attribuable à des ondes acoustiques qui se sont propagées au sein de lunivers homogène mais opaque à la lumière, bien que transparent aux ondes acoustiques. La matière naissante sest accumulée dans les zones de compression au détriment des zones de dépression. Cest lantagonisme entre la pression des photons et la gravitation qui rend possible ces oscillations acoustiques. En fait le phénomène est plus complexe car les interactions suivantes interviennent photon électron (électrique), électron proton (électrique), proton matière neutre (gravitation)

25 25 Lespace est occupé par un fluide appelé photon/baryon. Par ailleurs, la disparition de lopacité est concomitante du gel des ondes acoustiques sous forme de masses séparées par du vide. La diffusion du bruit cosmique par ces masses naissantes est constatée par de petites anisotropies qui font lobjet des recherches actuelles. En ce qui concerne la figure 5, on peut considérer, sans que cela soit explicité, que les positions de G 1 et G 2 correspondent à deux zones parmi dautres du mode fondamental de vibration.

26 26 Figure 5

27 27 Revenons maintenant à la figure 5, remarquer les lignes dunivers suivantes: les deux concernant la lumière qui convergent vers lobservateur au temps t 0. Ce sont les intersections du fuseau de lumière avec les plans P1 et P2. celles de la matière, elles atteignent les points G 1 et G 2 au temps t 0; du fait de lexpansion de lespace on a la relation métrique: Par contre la différence de coordonnée ne varie pas pendant lexpansion ( voir La Cosmologie baba).

28 28 Contexte de lévolution des idées concernant lunivers primitif Il sagit des conséquences de la découverte du bruit cosmique par COBE et des observations récentes effectuées par différentes missions telles que : Boomerang, WMAP …etc… Lobjectif est dobtenir une carte céleste détaillée des petites anisotropies du bruit cosmique qui savèrent de lordre de quelques centmillièmes de sa température moyenne 2.725K ( figure 6 ). Elles savèrent dune amplitude qui nexcède pas 70 microkelvins.Rappelons que lorigine de ce bruit est un rayonnement de corps noir.

29 29 Figure 6

30 30 La fréquence du maximum du rayonnement que nous recevons aujourdhui est donné par la formule suivante: f m en GHz =58.58 x T en Kelvins Pour T=2.725 K on trouve 160 GHz (voir la figure7) Cest une fréquence de la gamme des ondes millimétriques, ont été observées les bandes suivantes: 90 GHz, 150 GHz, 240 GHz, la figure 8 montre quelques cartes en fausses couleurs. Lanalyse statistique du spectre angulaire révèle des pics, celui qui a la plus grande amplitude concerne le mode fondamental (figure 9).Léchelle angulaire se déduit du moment multipolaire par

31 31 Figure 7

32 32 Figure 8

33 33 Figure 9

34 34 Calcul de la position du premier pic de la figure 9 La figure représente la statistique des observations effectuées par différentes missions,elles se recoupent assez bien. Peut-on, à partir des paramètres publiés, par ailleurs, par la mission WMAP calculer cette position? Ce calcul est possible. Tout dabord, une remarque: lénergie EM analysée fut émise au moment où lopacité primordiale de lunivers fit place à sa transparence et quipso facto la propagation des ondes acoustiques cessa puisque la pression du milieu devint quasi nulle. Il sagit du découplage des électrons et des photons. Revoir«Les trois omégas de lUnivers »

35 35 Cet événement se produisit à lépoque ans Cela fixe la plus grande distance qua pu parcourir londe acoustique du mode fondamental, en loccurrence lhorizon acoustique. A ces ans on peut associer un red-shift z=1089 et la valeur particulière du facteur déchelle: Lhorizon acoustique r s se calcule à laide du temps conforme et de la vitesse du son c s

36 36 En fait, c s et sont des fonctions de La vitesse du son dépend de la pression et de la densité:

37 37 p : pression en J / m 3 densité en kg / m 3 On peut encore écrire : Pendant lintervalle de temps ans, surtout au début, le milieu est ultra-relativiste et on peut admettre que : Cela conduit à lapproximation :

38 38 Comme lunivers se dilate et se refroidit c s est aussi une fonction de z. Wayne T. Hu dans sa thèse introduit la correction suivante: Doù lintégrale donnant lhorizon acoustique ( en nous plaçant dabord dans le cas dun univers plat)

39 39 Pour obtenir la valeur numérique, saisir dans MAPLE: evalf( *Int(((3+1995*a)*(0.27*a+0.73*a^ ))^(-1/2),a= )); On trouve : r s = Mpc Dautre part, la distance de réception est donnée par: Pour obtenir la valeur numérique, saisir dans MAPLE: evalf( *Int((0.27*a+0.73*a^ )^(- 1/2),a= )); On trouve : D R = Mpc

40 40 Langle de la figure 9 ou langle sont donnés par: Soit 0.600° ( WMAP donne )

41 41 Même calcul dans le cas dun univers courbe Nous adoptons qui correspond à et Et les formules suivantes:

42 42 Ordre de grandeur ou milliards dAL On trouve : radian ou 0.648° Remarque : ce résultat confirme la très faible courbure de lunivers

43 43 Quelques aspects de la perception de la courbure de lespace Cette perception dépend de lécart entre lunité et la somme WMAP a annoncé que 1 < <1.04 ce qui signifie que la courbure est positive et que lunivers pourrait bien être fermé. Il en résulte que: < < 0 Le rayon de courbure dun univers sphérique est égal à la racine carrée de la courbure, et vaut :

44 44 La conséquence de cette courbure est la déviation géodésique, elle perturbe la mesure du diamètre apparent comme le montre la figure 10. On constate, en effet, que dans le cas dun univers courbe et fermé, le diamètre apparent observé est plus grand quil ne serait constaté dans un univers plat. La déviation géodésique est exprimable par le rapport du diamètre apparent observé dans un espace courbe et fermé, au diamètre apparent observé dans un espace plat. Cela nécessite le calcul dun autre angle que lon trouvera figure 11. Cet angle définit la longueur de larc de grand cercle que la lumière parcourt pour nous atteindre.

45 45 Figure 10

46 46 Figure 11

47 47 Cet arc est égal au produit du rayon de courbure par langle : Langle est donné par lintégrale : Cest langle du sinus de la formule donnant la distance de réception D R. Les bornes dintégration correspondent à: z=1089, ( ), z=0, ( )

48 48 La première borne dintégration correspond à la zone de dernière diffusion du bruit cosmique Le diamètre apparent ( petit ) dun diamètre physique est donné par : Au premier ordre : La déviation géodésique est donc Voir le tableau de la page suivante

49 49

50 50 TABLE DES MATIERES Introduction 2 Critère dopacité de lunivers 6 Diamètre apparent en fonction de la distance à lobservateur 12 Tableau des résultats de calculs 18 Distances comobiles séparant les amas de matière au sortir de lopacité 23 Contexte de lévolution des idées concernant lunivers primitif 28 Calcul de la position du premier pic du spectre angulaire 34 Vitesse du son et horizon acoustique 38 Calcul dans un univers dont la géométrie de lespace est courbe 41 Quelques aspects de la perception de la courbure de lespace 43 Tableau donnant la déviation géodésique 49


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