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TRIANGLE Inégalité triangulaire 1.Définition 2.Cas du triangle. 3.Cas des points alignés. Plan du chapitre.

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2 TRIANGLE Inégalité triangulaire

3 1.Définition 2.Cas du triangle. 3.Cas des points alignés. Plan du chapitre

4 Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. A (Paris) B (Bar sur Aube) C (Lyon) Inégalité triangulaire Donc AC < AB + BC 1. Définition.

5 Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. A (Paris) B (Bar sur Aube) C (Lyon) Inégalité triangulaire Donc AC < AB + BC 1. Définition.

6 La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). A (Paris ) B (Bar sur Aube) C (Lyon) M (Auxerre) De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : AC > AN + NC (cest impossible, le plus court chemin est la ligne droite) Donc AM + MC =AC

7 La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). A (Paris ) B (Bar sur Aube) C (Lyon) M (Auxerre) De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : AC > AN + NC (cest impossible, le plus court chemin est la ligne droite) Donc AM + MC =AC

8 Finalement, on peut donc conclure que : Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : « Peu importe qui sont.. » AC AB + BC Par

9 Finalement, on peut donc conclure que : Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : « Peu importe qui sont.. » AC AB + BC Par

10 AC 2. Dans un triangle. A B C AB BC On a : Propriété :Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. < AB + BC < AC + CB < BA + AC Par

11 AC 2. Dans un triangle. A B C AB BC On a : Propriété :Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. < AB + BC < AC + CB < BA + AC Par

12 Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? A B C 9 cm 5 cm 13 cm On doit vérifier la propriété que lon vient dénoncer. Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. Il suffit donc de vérifier la 3 ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.

13 Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? A B C 9 cm 5 cm 13 cm On doit vérifier la propriété que lon vient dénoncer. Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. Il suffit donc de vérifier la 3 ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.

14 A B C 9 cm 5 cm 13 cm BC = 13 cm BA + AC= = 14 cm La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC. Donc BC < BA + BC

15 A B C 9 cm 5 cm 13 cm BC = 13 cm BA + AC= = 14 cm La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC. Donc BC < BA + BC

16 Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? Comme on vient de le voir dans lexemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. K I J 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm

17 Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? Comme on vient de le voir dans lexemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. K I J 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm

18 IK = 7,6 cm IJ + JK= 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Daprès la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il nexiste pas. Donc IK > IJ + JK K I J 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm

19 IK = 7,6 cm IJ + JK= 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Daprès la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il nexiste pas. Donc IK > IJ + JK K I J 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm

20 3. Cas des points alignés. Propriété :Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. par A B C AB BC = AC +

21 3. Cas des points alignés. Propriété :Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. par A B C AB BC = AC +

22 Exemples : Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK A C B I J K

23 Exemples : Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK A C B I J K

24 On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cmST = 12 cmRT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? Solution : RS + RT= = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre. S RT

25 On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cmST = 12 cmRT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? Solution : RS + RT= = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre. S RT

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