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Exemples de calculs daires à laide de fonctions en escalier. Remarque : Pour faciliter la compréhension, on nutilisera pas deux suites de fonctions en.

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1 Exemples de calculs daires à laide de fonctions en escalier. Remarque : Pour faciliter la compréhension, on nutilisera pas deux suites de fonctions en escalier adjacentes mais simplement une suite convergente.

2 Commençons le plus simplement par une aire dun triangle rectangle isocèle ! Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x. On s intéresse à laire du domaine délimité par laxe des abscisses, la courbe de f et les axes déquations x = 0 et x = Aire dun triangle ! On définit la suite de fonctions en escaliers (f n ) pour n supérieur ou égal à 2 en posant : Pour tout x avec k entier naturel compris entre 1 et n.

3 Voilà à quoi ressemble cette suite de fonctions en escaliers (f n ). Cf2Cf2 Cf3Cf3 Cf4Cf4 x

4 Calculons maintenant On doit faire la somme des cinq rectangles sous la courbe de f 5 ; ces cinq rectangles ayant tous la même largeur égale à 1/5. On obtient donc comme résultat : Aire de ce rectangle :

5 Et ainsi de manière plus générale : En utilisant la somme dune suite arithmétique, on obtient : Or la suiteconverge vers.

6 Ainsi, pour ceux qui ne le savais pas encore : laire du triangle considéré vaut ou encore : n = 20 n = 40

7 Considérons maintenant la parabole déquation y = x 2. Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x 2. On s intéresse à laire du domaine délimité par laxe des abscisses, la courbe de f et les axes déquations x = 0 et x = Aire sous une parabole. De la même manière que pour lexemple 1., on définit la suite de fonctions en escaliers (f n ) pour n supérieur ou égal à 2 en posant : Pour tout x avec k entier naturel compris entre 1 et n.

8 Calculons On doit faire la somme des quatre rectangles sous la courbe de f 4 ; ces quatre rectangles ayant tous la même largeur égale à 1/4. On obtient donc : Aire de ce rectangle :

9 Pour n = 20, lapproximation donnée en utilisant f n est de 0, n = 20 n = 40 Pour n = 40, lapproximation donnée en utilisant f n est de 0,

10 En utilisant une formule qui donne la somme des n premiers entiers au carré (formule qui se démontre facilement par récurrence !!!) En généralisant : On obtient : Et on a :

11 Ainsi, laire sous cette parabole est de : en unité daire. et on a :


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