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Calcul Intégral Au XVIII ème siècle, les mathématiciens progressent dans deux domaines séparés : les problèmes des tangentes (et la longueur des arcs)

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Présentation au sujet: "Calcul Intégral Au XVIII ème siècle, les mathématiciens progressent dans deux domaines séparés : les problèmes des tangentes (et la longueur des arcs)"— Transcription de la présentation:

1 Calcul Intégral Au XVIII ème siècle, les mathématiciens progressent dans deux domaines séparés : les problèmes des tangentes (et la longueur des arcs) et ceux des quadratures (ou calculs daires). On doit cependant à lAnglais Newton et à lAllemand Leibniz davoir, par des approches complémentaires, clairement établi que ces deux domaines étaient liés : cest la naissance du calcul infinitésimal : calcul différentiel et intégral.

2 1. Intégrale d une fonction en escalier. La fonction f présentée ci-contre est dite en escalier. Elle est constante par morceaux. L intégrale de f sur [a ; b] est la somme algébrique des aires des rectangles colorés. On compte positivement les aires au-dessus de laxe des abscisses et négativement celles en dessous de cet axe. a b Lintégrale de f sur [a ; b] est notée : 1§ Notion d intégrale sur un intervalle x1x1 x2x2 c1c1 c2c2 c3c3 + On a ici : + - Attention : c 2 < 0 !

3 2. Intégrale d une fonction continue. On admet que, si f est une fonction continue sur [a ; b], il existe deux suites de fonctions en escalier (g n ) et (h n ) telles que : Exemple : Voici présentée la courbe dune fonction f continue, positive et décroissante sur [-1 ; 4]

4 Ch2Ch2 Cg2Cg2 Les deux figures illustrent une façon « simple » de choisir des suites de fonctions en escalier qui vérifient la première condition. Pour chaque valeur de n > 0, on a choisi de subdivisé lintervalle [- 1 ; 4] en 2 n intervalles de longueur égale. On peut alors représenter et calculer : en bleu en vert

5 Cg3Cg3 Ch3Ch3 On peut démontrer, avec ce procédé, que les deux suites dintégrales ainsi crées sont adjacentes et donc convergent vers une même limite l qui est donc par définition : Pour créer g 3 et h 3, on a donc choisi de prendre deux fois plus dintervalles Et on poursuit la démarche en augmentant le nombre dintervalles et donc en diminuant la longueur de ces intervalles.

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7 Lexemple précédent est assez simple (!) car la fonction est positive et décroissante sur [- 1 ; 4]. Mais la démarche peut être utilisée pour toutes fonctions continues sur [a ; b]. Remarque : les intervalles de la subdivision ne doivent pas obligatoirement être de longueur égale et on ne doit pas avoir forcément 2 n intervalles. Il y a donc beaucoup de choix différents pour créer ces suites de fonctions en escalier mais on admet que toutes donneraient la même limite l.

8 3. Intégrale et aire. Lorsque f est continue et positive sur [a ; b], le nombre représente laire « sous la courbe » de f sur [a ; b]. Cette aire est exprimée en unité daire (u.a.) 1 u.a. en u.a.

9 2§ Premières Propriétés. 1. Extension de la définition. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tout a et b de I, tel que a b on peut prolonger assez naturellement la définition donnée pour lintégrale de f en posant : Si a > b : Si a = b : Attention, si f est positive sur I, cette intégrale ne représente plus une aire sous la courbe. !

10 2. Relation de Chasles. On illustre ce théorème assez facilement en prenant une fonction positive sur I et a < b < c. Ce théorème devient alors une somme daires sous la courbe de f. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tout a, b et c de I : a b c CfCf CfCf a c Mais ce théorème reste valable dans tous les autres cas, la seule condition étant la continuité de f.

11 3. Linéarité de lintégration. Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I. Soit et deux réels. Pour tout a et b de I :

12 3§ Encadrement - Valeur moyenne. Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I. Pour tout a et b de I tels que a b : Si f 0 sur [a ; b], alors : Si f g sur [a ; b], alors : « Preuves » : Si f est positive sur [a ; b], lintégrale de f sur [a ; b] représente laire sous la courbe de f. Or une aire est toujours positive. Doù la première assertion. Si f g sur [a ; b], alors f - g 0 sur [a ; b], en utilisant la propriété précédente ainsi que la linéarité de l intégration, on obtient : Doù la seconde propriété.

13 CfCf CgCg La seconde propriété peut aussi sinterpréter en termes daires : Si f et g continues et positives sur [a ; b] et si f g sur [a ; b], alors laire sous la courbe de f est supérieure à laire sous la courbe de g.

14 CfCf m M Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; m et M deux réels. Pour tout a et b de I tels que a b : Si m f M sur [a ; b], alors : L inégalité de la moyenne est une conséquence de la seconde propriété. On peut interpréter cet encadrement en termes daires (si m 0 sur [a ; b] )

15 Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels distincts de I. Il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : Ce théorème est une application du théorème des valeurs intermédiaires. Valeur moyenne Le nombre défini par : est appelé valeur moyenne de f entre a et b.

16 Là encore, on interprète la valeur moyenne en termes d aires : Si f continue et positive sur [a ; b], la valeur moyenne est la hauteur dun rectangle dont laire est égale à celle sous la courbe de f.


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