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Chapitre 1 PGCD de deux nombres. Objectifs : Savoir calculer le PGCD de deux nombres et interpréter le résultat. Savoir si un nombre est premier ou non.

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1 Chapitre 1 PGCD de deux nombres

2 Objectifs : Savoir calculer le PGCD de deux nombres et interpréter le résultat. Savoir si un nombre est premier ou non. Savoir simplifier une fraction grâce au PGCD Trouver les diviseurs et les multiples dun nombre. Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux.

3 I. Division euclidienne La division euclidienne de 56 par 17 est : 56 = 17 x Dividende Diviseur Quotient Reste

4 II. Diviseurs et multiples Définition : Soient a et b deux nombres entiers non nuls. On dit que b est un diviseur de a lorsqu'il existe un nombre entier n tel que a = n x b. On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b. Exemples : On a 55 = 11 x 5 donc : 5 est un diviseur de 55, 55 est un multiple de 11, 55 est divisible par 5.

5 III. Plus grand diviseur commun Définition : Un diviseur commun à 2 ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 3 est un diviseur commun à 12 (car 12 = 3 x 4) à 27 (car 27 = 3 x 9) par exemple. Définition : Le Plus Grand Commun Diviseur à 2 ou plusieurs nombres entiers est appelé PGCD de ces nombres.

6 Trouver le PGCD de 60 et 75 en écrivant la liste de leurs diviseurs : 60 = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x 15 Donc les diviseurs de 60 sont : 60 = 5 x = 6 x 10 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; = 1 x = 3 x 25 Donc les diviseurs de 75 sont : 75 = 5 x 15 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75

7 Diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60 Diviseurs de 75 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 Les diviseurs communs à 60 et 75 sont 1 ; 3 ; 5 ; 15. Le plus grand d'entre eux est 15. Donc le PGCD de 60 et 75 est 15, on le note : PGCD ( 60 ; 75 ) = 15

8 Imaginons qu'on veuille calculer le PGCD de et Il s'agit de grands nombres, il sera donc très fastidieux de rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de trouver le plus grand diviseur commun. Nous allons utiliser deux algorithmes : Algorithme des soustractions successives : Algorithme dEuclide

9 Algorithme de soustractions successives : Calculons le PGCD de 295 et 177 : – 118 = – 59 =

10 Algorithme dEuclide : Calculons le PGCD de 270 et 84 : Il fonctionne comme lalgorithme de soustractions successives sauf quau lieu de faire la soustraction des deux nombres on effectue la division euclidienne des deux nombres et on remplace le plus grand par le reste de la division. Le PGCD est le dernier reste non nul = 4 x = 1 x = 2 x

11 IV. Nombres premiers Définition : Un nombre est premier lorsquil possède exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 3 est un nombre premier car il a exactement 2 diviseurs : 1 et 3. 6 nest pas un nombre premier car il a 4 diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

12 V. Nombres premiers entre eux. Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Leur seul diviseur commun est donc 1. Exemples : Les nombres 14 et 27 sont-ils premiers entre eux ? Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 14 Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; et 27 ont un seul diviseur commun 1. Donc PGCD ( 14 ; 27 ) = 1. Les nombres 14 et 27 sont premiers entre eux.

13 VI. Fraction irréductibles Définition : Une fraction est dite irréductible lorsqu'elle ne peut pas être simplifiée.

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