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1 Le formalisme quadridimensionnel de la géométrie différentielle pour des modèles de comportement anisotropes et indépendants du référentiel - Application.

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1 1 Le formalisme quadridimensionnel de la géométrie différentielle pour des modèles de comportement anisotropes et indépendants du référentiel - Application à l élasticité des cristaux métalliques ICD LASMIS Club Zebulon Emmanuelle ROUHAUD, Benoît PANICAUD, Arjen ROOS 5 juin 2012

2 2 Plan Approche 3D : les possibilités Approche 3D : les problèmes Approche ND : les maths Approche 4D : la physique Approche 4D : les possibilités Approche 4D : application Zébulon Approche 4D : conclusions et perspectives

3 3 3D Approche 3D : les possibilités Hypothèses générales: - Transformations finies - Elasticité isotherme avec des rigidités - Approche 3D sécante (pas de dérivation) - Géométrie = VER - Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains) Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope - Exemple - Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

4 4 3D Approche 3D : les possibilités Modèle 1 = macroscopique + départ Lagrangien Modèle 2 = macroscopique + départ Eulérien Modèle 3 = micromécanique + départ Lagrangien N grains à symétrie cubique, désorientés par une FDO(Q) 2X méthodes de transitions déchelles possibles (Voigt, Reuss…)

5 5 3D Approche 3D : les problèmes - Le choix Euler/Lagrange - Le choix de la variable cinématique un faux problème - Le choix du modèle de comportement dépend du matériau - Le choix de la méthode de transition déchelles quel ? - Le problème de lévolution de la texture FDO(Q(t)) ? - Le problème de linvariance des grandeurs et des relations - La dépendance ou non au mouvement rigide - Le problème de lisotropie des modèles en Euler réglé OBJECTIVITE

6 6 OBJECTIVITE ? Une nécessité Repère avec mouvement rigide : e1e1 e2e2 e3e3 x O F A F x A e 1 e 2 e 3 Q(t ) 3D Repère fixe Dans le repère « » lié au chariot : V(A) = 0 La force est objective La vitesse nest pas objective Soit Q la matrice de passage entre fixe et « ». Alors F = QF VQV

7 Changement de coordonnées (ou de référentiels) Pour un tenseur dordre 2 (3x3) : 7 Les maths Les composantes dune densité géométrique, dordre deux (NXN) par exemple, obéissent toujours à : par un changement de coordonnées dans un repère à N dimensions tel que : Invariance de tout objet + toute relation par nimporte quel changement de coordonnées = covariance 3D ND Les indices varient de 1 à N

8 8 4D Approche 4D : la physique 1) Quatre dimensions : trois despace : x 1, x 2, x 3 : x i une de temps : x 4 = ct où c est une vitesse de référence Mouvement non-relativiste : c 2) Une métrique dans le repère inertiel : de signature ( ) Dans un repère curviligne les compo- santes de la métrique sont g. Les indices grecques varient de 1 à 4 Les indices latins varient de 1 à 3 Pour un changement de coordonnées les matrices Jacobiennes sont 4 x 4

9 9 La physique Changement de coordonnées 4D: Jacobiennes 3D: Jacobiennes 4D: Changement de repères 3DChangement de référentiels Mouvement relatif rigide Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D 4D Changement de référentiels Mouvement relatif avec déformation

10 10 4D Lobjectivité ? Le « principe » dobjectivité 3D nest pas un principe Objectivité 3D, si Vecteur 4D Changement de référentiel (= observateur) Sinon… (F = QF)

11 11 Le cas de la vitesse 4D La vitesse 4D est indépendante du référentiel dobservation (la force aussi) ET dépend du mouvement rigide x' B A e 1 e 2 e 3 x A e1e1 e2e2 e3e3 Q U Repère fixe Repère « » en translation (U=cte) Dans le repère lié au chariot : V(A) = 0 Soit la matrice Jacobienne entre fixe et « »: Transformation de la vitesse: (x 4 =ct)

12 12 La physique Changement de coordonnées 4D: Jacobiennes 3D: Jacobiennes 4D: Changement de repères 3DChangement de référentiels Mouvement relatif rigide Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D 4D Changement de référentiels Mouvement relatif avec déformation

13 Convectif: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le repère Eg qui suit la déformation de la matière (repère convectif curviligne) et tel que : Interlude Description des milieux continus Lagrange: description en fonction de la position initiale (de référence) exprimée dans le repère E0 Configuration initiale Configuration actuelle Une formulation lagrangienne est la projection dune relation tensorielle dans le repère convectif Le passage dune formulation eulérienne à une formulation lagrangienne est un changement de coordonnées 4D (relations anisotropes comprises) Euler: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le même repère E0

14 14 4D Approche 4D : les possibilités - Toute relation 4 tensorielle est invariante par rapport à tout changement de référentiels. - Un changement de référentiels est un changement de coordonnées curvilignes 4D (attention à la variance). - La formulation de Lagrange est une projection dans le système de coordonnées 4D convectif. - La dépendance au mouvement rigide est un choix physique. - L(an)isotropie est un choix physique. - La méthode 3D 4D = CONSTRUIRE DES TENSEURS 4D !!! (attention à la signature de la métrique et à la dimension du temps).

15 15 4D Les possibilités dans le cas de lélasticité T = k : Def k = cte Isotrope = tr(e)+2 e = iso C J[ (E:C -1 ) C C -1 E C -1 ] Anisotrope = k e = C k (F) Isotrope = iso c e = tr(E)+2 Anisotrope = k( c,c) e = C Modèle 4D tensoriel Inertiel ON Convectif Coordonnées 4D : PK2 Cauchy E : Déformation Lagrange e : Déformation Euler C : F T F c : (FF T ) -1 Inertiel ON Convectif Inertiel ON Convectif Inertiel ON Convectif

16 16 4D Approche 4D : les possibilités Hypothèses générales: - Transformations finies - Elasticité isotherme avec des rigidités - Approche 4D (non-relativiste) sécante (pas de dérivation) - Géométrie = VER - Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains) Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope Exemple: - Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

17 17 4D Approche 4D : les possibilités Modèle 4 = macroscopique + départ Obs Lagrangien Modèle 6 = macroscopique + départ Obs Eulérien = Modèle 4 Modèle 5 = macroscopique + départ Obs Lagrangien 3D Lagrange Modèle 7 = micromécanique + départ Obs Eulérien Modèle 8 = micromécanique + départ Obs Lagrangien 2 versions comme en macro avec ou g

18 18 4D Application Zébulon Programmation des lois élastiques linéaires isotropes Euler et Lagrange

19 19 4D Application Zébulon Programmation des lois élastiques linéaires Anisotrope Euler et Lagrange

20 20 4D Application Zébulon Calculs 9 grains Orientations initiales « aléatoires »

21 21 4D Application Zébulon Calculs 9 grains Lagrange / Euler Moyenne 9 grains Moyenne 1 grain

22 22 4D Approche 4D : conclusions… - Linvariance des grandeurs et des relations est acquise par lutilisation de tenseurs 4D (principe de covariance). - Un modèle 4 tensoriel peut dépendre (ou pas !) du mouvement rigide : ceci correspond à un choix physique. -Une relation peut décrire un phénomène anisotrope et être exprimée avec une approche Eulérienne. - Les expressions Lagrangiennes correspondent à une projection de lexpression tensorielle dans le repère convectif 4D. - On peut « passer » dune description Eulérienne à une description Lagrangienne par un changement de repère 4D.

23 23 FIN Approche 4D : … et perspectives - Développer un formalisme 4D pour décrire les effets dissipatifs dans le cadre thermodynamique : - viscosité - plasticité - Le principe de covariance a des conséquences importantes pour lexpression des variations dans le temps des grandeurs : - Invariance par changement de référentiels assurée - Programmer les taux covariants dans Zebulon. - Programmer les modèles de comportement avec dissipations dans Zebulon.

24 24 Ref. - Rougée, P.: Kinematics of finite deformations. Arch. Mech. 44, (1992) - Garrigues, J.: Fondements de la Mécanique des Milieux Continus. Hermes, Science Publications (2007) - Lamoureux-Brousse, L.: Infinitesimal deformations of finite conjugacies in nonlinear classical or general relativistic theory of elasticity. Physica D. 35, (1989) - Murdoch, A.I.: Objectivity in classical continuum physics: a rationale for discarding the `principle of invariance under superposed rigid body motions' in favour of purely objective considerations. Continuum Mech. Thermodyn. 15, (2003) - Bressan, A.: Relativistic Theories of Materials. Springer-Verlag, Berlin (1978) -Schouten, J.: Ricci-calculus: An Introduction to Tensor Analysis and Its Geometrical Applications. Springer-Verlag (1954)


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