Intégrale définie et changement de variable

Présentation au sujet: "Intégrale définie et changement de variable"— Transcription de la présentation:

1 Intégrale définie et changement de variable
Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2 Introduction Nous avons déjà vu comment utiliser le changement de variable pour effectuer une intégrale indéfinie. La démarche est sensiblement la même pour l’intégrale définie, sauf qu’il faut tenir compte des bornes d’intégration.

3 Première procédure Procédure
pour effectuer une intégrale définie par changement de variable. 1. Analyser l’intégrale à effectuer et déterminer la forme de base apparentée à celle de l’intégrande. Choisir dans l’expression à intégrer une fonction u = g(x) permettant de ramener l’intégrale à la forme de base. 2. Calculer la différentielle de u, du = g '(x) dx. 3. Faire la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. 4. Intégrer en fonction de la variable u. 5. Exprimer le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. 6. Évaluer l’intégrale définie entre les bornes d’intégration.

4 Exemple S S S S S 6x (x2 + 4)2 dx Effectuer l’intégration suivante :
2 Effectuer l’intégration suivante : Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 6 : Évaluer l’intégrale entre les bornes d’intégration Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = ur. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. Posons u = x2 + 4. du dx d dx x2 + 4 = = 2x. On a donc du = 2x dx. 6x (x2 + 4)2 dx = u2 du 3 , par changement de variable; = k u3 3 , par l’intégrale de la forme de base; = (x2 + 4)3 + k , par changement de variable. 6x (x2 + 4)2 dx 2 2 = (x2 + 4)3 = (22 + 4)3 – (02 + 4)3 = 512 – 64 = 448 S S S S S

5 Exercice S S S S S 24x2 (x3 – 8)3 dx
Effectuer l’intégration suivante : Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u3. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. Étape 6 : Évaluer l’intégrale entre les bornes d’intégration L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. Posons u = x3 – 8. du dx d dx x3 – 8 = = 3x2. On a donc du = 3x2 dx. 24x2 (x3 – 8)3 dx = u3 du 8 , par changement de variable; = k u4 4 , par l’intégrale de la forme de base; = 2(x3 – 8)4 + k , par changement de variable. 24x2 (x3 – 8)3 dx 2 4 4 2 = 2(x3 – 8)4 = 2(43 – 8)4 – 2(23 – 8)4 = – 0 = S S S S S

6 Exercice S S S S S S Effectuer l’intégration suivante :
1 Effectuer l’intégration suivante : 2x e3x2 – 2 dx. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 6 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = eu. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. On posera donc u = 3x2 – 2. du dx d dx 3x2 – 2 = du 3 = 6x. On a donc du = 6x dx et 2x dx = = eu du 1 3 2x e3x2 – 2 dx , par changement de variable; eu 3 = k , par l’intégrale de la forme de base; e3x2 – 2 3 = k , par changement de variable. 1 e3x2 – 2 3 1 = e1 3 = e– 2 3 – e3 – 1 3e2 = 2x e3x2 – 2 dx S S S S S S

7 Deuxième procédure On peut être plus efficace en conservant la nouvelle variable pour évaluer l’intégrale. Il faut cependant déterminer les bornes d’intégration pour cette nouvelle variable. Procédure pour évaluer une intégrale définie par changement de variable 1. Déterminer le changement de variable à effectuer, vérifier que ce changement permet d’écrire l’intégrale à l’aide de cette seule variable et effectuer. 2. Déterminer les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. 3. Effectuer l’intégrale. 4. Évaluer l’intégrale définie entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable. Considérons à nouveau les exemples déjà présentés pour comparer les procédures.

8 Exemple S S S S Effectuer l’intégration suivante : 6x (x2 + 4)2 dx
2 Effectuer l’intégration suivante : 6x (x2 + 4)2 dx Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = ur. Étape 3 : Effectuons l’intégration. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable. En posant u = x2 + 4, on a du = 2x dx. Par substitution, si x = 0, u = 4 et si x = 2, u = 8. 2 4 8 6x (x2 + 4)2 dx = , par changement de la variable et des bornes d’intégration; 3u2 du 8 4 = u3 , par l’intégrale de la forme de base. = 83 – 43 = 512 – 64 = 448 On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. S S S S

9 Exercice S S S S Effectuer l’intégration suivante : 24x2 (x3 – 8)3 dx
Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = ur. Étape 3 : Effectuons l’intégration. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable. En posant u = x3 – 8, on a du = 3x2 dx. Par substitution, si x = 2, u = 0 et si x = 4, u = 56. 2 4 56 24x2 (x3 – 8)3 dx = , par changement de la variable et des bornes d’intégration; 8u3 du 56 = 2u4 , par l’intégrale de la forme de base. = 2(564 – 04) = On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. S S S S

10 Exercice S S S S Effectuer l’intégration suivante : 2x e3x2 – 2 dx.
1 Effectuer l’intégration suivante : 2x e3x2 – 2 dx. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = eu. Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable Étape 3 : Effectuons l’intégration. En posant u = 3x2 – 2, on a du = 6x dx. Par substitution, si x = 0, u = –2 et si x= 1, u = 1. 1 –2 1 2x e3x2 – 2 dx = , par changement de la variable et des bornes d’intégration; eu du = eu 1 3 1 –2 , par l’intégrale de la forme de base. e1 3 = e– 2 3 – e3 – 1 3e2 = On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. S S S S

11 Exercice S S S S Effectuer l’intégration suivante : sin2x cos x dx
π/2 Effectuer l’intégration suivante : sin2x cos x dx Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = ur. Étape 3 : Effectuons l’intégration. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable En posant u = sin x, on a du = cos x dx. Par substitution, si x = 0, u = 0 et si x = π/2, u = 1. π/2 1 sin2x cos x dx = , par changement de la variable et des bornes d’intégration; u2 du 1 = u3 1 3 , par l’intégrale de la forme de base. 1 3 = 3 – 1 3 = S S S S

12 Exercice S S S S Effectuer l’intégration suivante : sin(2πt +π/2) dt.
–1/4 1/4 Effectuer l’intégration suivante : sin(2πt +π/2) dt. Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = sin u. Étape 3 : Effectuons l’intégration. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable En posant u = 2πt +π/2, on a du = 2π dt et dt = du/2π. Par substitution, si t = –1/4, u = 0 et si t = 1/4, u = π. 1 2π π –1/4 1/4 sin u du , par changement de la variable et des bornes d’intégration; sin(2πt +π/2) dt = –cos u π = 1 2π , par l’intégrale de la forme de base. 1 2π = –cos π + cos 0 1 2π = (–(–1) + 1) = 1 π S S S S

13 Exercice S S S S Effectuer l’intégration suivante : tan x dx. tan x =
π/3 Effectuer l’intégration suivante : tan x dx. tan x = sin x cos x = dx sin x cos x et on peut donc écrire : tan x dx Étape 3 : Effectuons l’intégration. Étape 4 : Évaluons l’intégrale entre les bornes d’intégration de la nouvelle variable Étape 2 : Déterminons les bornes d’intégration de cette nouvelle variable. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = 1/u. En posant u = cos x, on a sin x dx = –du. Par substitution, si x = 0, u = 1 et si x = π/3, u = 1/2. π/3 = 1 1/2 du –1 u , par changement de la variable et des bornes d’intégration; tan x dx –ln |u| 1/2 1 = , par l’intégrale de la forme de base. = –(ln(1/2) – ln 1) = ln 2 S S S S

14 Conclusion Lorsqu’on doit effectuer un changement de variable dans une intégrale définie, il faut toujours se rappeler que l’on doit également changer les bornes d’intégration.