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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Intégrale définie et changement de variable Intégrale définie et changement.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Intégrale définie et changement de variable Intégrale définie et changement de variable

2 Introduction Nous avons déjà vu comment utiliser le changement de variable pour effectuer une intégrale indéfinie. La démarche est sensiblement la même pour lintégrale définie, sauf quil faut tenir compte des bornes dintégration.

3 Première procédure Procédure pour effectuer une intégrale définie par changement de variable. 1.Analyser lintégrale à effectuer et déterminer la forme de base apparentée à celle de lintégrande. Choisir dans lexpression à intégrer une fonction u = g(x) permettant de ramener lintégrale à la forme de base. 2.Calculer la différentielle de u, du = g '(x) dx. 3.Faire la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. 4.Intégrer en fonction de la variable u. 5.Exprimer le résultat de lintégration en fonction de la variable initiale. 6.Évaluer lintégrale définie entre les bornes dintégration.

4 6x (x 2 + 4) 2 dx Exemple Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u r. = 2x. du dx d dx x 2 + 4= On a donc du = 2x dx.,par lintégrale de la forme de base; S = 3 + k u 3 3,par changement de variable. = (x 2 + 4) 3 + k Posons u = x Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. = u 2 du3 Lintégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; S Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 5 : Exprimons le résultat de lintégration en fonction de la variable initiale. SSS 6x (x 2 + 4) 2 dx 0 2 Étape 6 : Évaluer lintégrale entre les bornes dintégration 6x (x 2 + 4) 2 dx 0 2 = ( ) = (x 2 + 4) 3 – ( ) 3 = 512 – 64 = 448

5 24x 2 (x 3 – 8) 3 dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u 3. = 3x 2. du dx d dx x 3 – 8= On a donc du = 3x 2 dx.,par lintégrale de la forme de base; S = 8 + k u 4 4,par changement de variable. = 2(x 3 – 8) 4 + k Posons u = x 3 – 8. Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. = u 3 du8 Lintégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; S Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 5 : Exprimons le résultat de lintégration en fonction de la variable initiale. SSS 24x 2 (x 3 – 8) 3 dx 2 4 Étape 6 : Évaluer lintégrale entre les bornes dintégration 24x 2 (x 3 – 8) 3 dx 2 4 = 2(4 3 – 8) = 2(x 3 – 8) 4 – 2(2 3 – 8) 4 = – 0 =

6 2x e 3x 2 – 2 dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = e u. = 6x. du dx d dx 3x 2 – 2= On a donc du = 6x dx et 2x dx =,par lintégrale de la forme de base; S e u 3 = + k,par changement de variable. e 3x 2 – 2 3 = + k On posera donc u = 3x 2 – 2. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. du 3 Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. = e u du 1313 Lintégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; 2x e 3x 2 – 2 dx S Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de lintégration en fonction de la variable initiale. SSS 2x e 3x 2 – 2 dx. 0 1 Étape 6 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration S 0 1 e 3x 2 – = e13e13 = e – 2 3 – e 3 – 1 3e 2 =

7 Deuxième procédure Procédure pour évaluer une intégrale définie par changement de variable 2.Déterminer les bornes dintégration de cette nouvelle variable. 3.Effectuer lintégrale. 4.Évaluer lintégrale définie entre les bornes dintégration de la nouvelle variable. 1.Déterminer le changement de variable à effectuer, vérifier que ce changement permet décrire lintégrale à laide de cette seule variable et effectuer. On peut être plus efficace en conservant la nouvelle variable pour évaluer lintégrale. Il faut cependant déterminer les bornes dintégration pour cette nouvelle variable. Considérons à nouveau les exemples déjà présentés pour comparer les procédures.

8 6x (x 2 + 4) 2 dx Exemple Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u r.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = x 2 + 4, on a du = 2x dx. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration. =,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS 6x (x 2 + 4) 2 dx 0 2 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable. 0 2 = – = 512 – 64 = Par substitution, si x = 0, u = 4 et si x = 2, u = u 2 du On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. = u3u3

9 24x 2 (x 3 – 8) 3 dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u r.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = x 3 – 8, on a du = 3x 2 dx. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration. =,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS 24x 2 (x 3 – 8) 3 dx 2 4 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable. 2 4 = 2(56 4 – 0 4 ) = Par substitution, si x = 2, u = 0 et si x = 4, u = u 3 du On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. = 2u42u4

10 2x e 3x 2 – 2 dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = e u.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = 3x 2 – 2, on a du = 6x dx. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration. =,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS 2x e 3x 2 – 2 dx. 0 1 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable –2 Par substitution, si x = 0, u = –2 et si x= 1, u = 1. –2 1 e u du On constate que le résultat est le même que celui obtenu par la première procédure. = e u 1313 e13e13 = e – 2 3 – e 3 – 1 3e 2 =

11 sin 2 x cos x dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = u r.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = sin x, on a du = cos x dx. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration. =,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS sin 2 x cos x dx 0 π/2 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable 1010 Par substitution, si x = 0, u = 0 et si x = π/2, u = u 2 du = u = 0303 – 1313 = 0 π/2

12 sin(2πt +π/2) dt Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = sin u.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = 2πt +π/2, on a du = 2π dt et dt = du/2π. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration. =,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS sin(2πt +π/2) dt. –1/4 1/4 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable Par substitution, si t = –1/4, u = 0 et si t = 1/4, u = π. 0 π sin u du –cos u π0π0 = 1 2π –1/4 1/4 1 2π = –cos π + cos 0 1 2π = (–(–1) + 1) = 1π1π 1 2π

13 tan x dx Exercice Effectuer lintégration suivante : Étape 1 : Lintégrale nest pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = 1/u.,par lintégrale de la forme de base. S En posant u = cos x, on a sin x dx = –du. Étape 2 : Déterminons les bornes dintégration de cette nouvelle variable. Étape 3 : Effectuons lintégration.,par changement de la variable et des bornes dintégration; SSS tan x dx. 0 π/3 Étape 4 : Évaluons lintégrale entre les bornes dintégration de la nouvelle variable Par substitution, si x = 0, u = 1 et si x = π/3, u = 1/2. –ln |u| 1/2 1 = 0 π/3 = –(ln(1/2) – ln 1) = ln 2 tan x = sin x cos x tan x dx et on peut donc écrire : = dx sin x cos x = 1 1/2 du –1 u

14 Conclusion Lorsquon doit effectuer un changement de variable dans une intégrale définie, il faut toujours se rappeler que lon doit également changer les bornes dintégration.


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