La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Cours 5 : symétries et lois de conservation Symétries, lois de conservation Spin et moment angulaire orbital Addition des moments angulaires Spin 1/2 Symétries.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Cours 5 : symétries et lois de conservation Symétries, lois de conservation Spin et moment angulaire orbital Addition des moments angulaires Spin 1/2 Symétries."— Transcription de la présentation:

1 Cours 5 : symétries et lois de conservation Symétries, lois de conservation Spin et moment angulaire orbital Addition des moments angulaires Spin 1/2 Symétries discrètes Parité (P) Conjugaison de charge (C) Le renversement du temps

2 Toutes les interactions conservent : –Lénergie et limpulsion –Le moment cinétique –La charge électrique –Le nombre baryonique –Les nombres leptoniques À part les interactions faibles les autres interactions conservent: –Le nombre de quarks de chaque espèce (u,d,s,c,b,t) –La conjugaison de charge –La parité –Le renversement du temps en pratique la différence entre N(quarks) et N(anti-quarks) La saveur : étrangeté charme beauté

3 Nombres quantiques conservés Nombre quantiqueInt. forte Int. électromagnétique Int. faible Nombre baryoniqueoui Nombre leptoniqueoui saveursoui non Conjugaison de charge(C)oui non Parité (P)oui non Renversement du temps (T)oui non

4 Les symétries Une figure a une symétrie si elle est invariante par un certain nombre de transformations Une loi de la physique est symétrique par rapport à une transformation si la forme de léquation exprimant la loi est invariante sous cette transformation Symétries géométriques (rotations, translations, t - t ) Symétries internes (liées à la MQ) transformation dIsospin, Charge Symétrique par rapport à un renversement du temps t - t

5 Un objet possède une symétrie sil est invariant quand on lui applique une certaine transformation Le Fuji-san est : invariant par rotation autour de laxe z symétrie cylindrique z Les physiciens sintéressent aux symétries : un objet nest pas symétrique par hasard* * Dans le cas du Fuji-san, cette symétrie est le résultat de léruption volcanique

6 Symétries lois de conservation en mécanique classique Principe de symétrie grandeur non observable Pas dorigine absolue de lespace La position absolue dun point nest pas observable Les lois de la physique sont invariantes par translation Limpulsion totale est conservée Position absolue non observable Invariance par translation Loi de conservation de limpulsion

7 direction absolue non observable Invariance par rotation Loi de conservation du moment cinétique Le moment cinétique est conservé Autre exemple : INVARIANCE PAR ROTATION r r ne varie pas avec le temps

8 Propriétés des transformations ( opérateurs de symétries) Symétries lois de conservation en MQ par def dune transformation avec | > le transformé de | > avec | b > le transformé de | b > Note : T peut être unitaire ou anti-unitaire (cad unitaire et anti-linéaire) Opérateur linéaire : Opérateur anti-linéaire : (on parle danti-unitarité car lopérateur renversement du temps est anti-unitaire)

9 Transformation dune observable ( ) En résumé, une transformation T : Les transformations telles que H = H laissent H inchangé Les opérateurs de symétrie qui laissent H inchangé commutent avec H Note : Ces transformations (opérateurs) jouent un rôle important en MQ : elles permettent de définir un ECOC (Ensemble Complet dObservables qui Commutent) et donc de spécifier univoquement tous les états propres de H (cf Cohen). | > : objet physique T : translation. : observable (appareil de mesure). Si lobjet physique et lappareil de mesure subissent la même translation, les résultats des mesures ne doivent pas être changés Cest à dire si les résultats des mesures ne sont pas modifiés lorsquon déplace lobjet sans déplacer lappareil de mesure (ou vice- versa )

10 Importance des opérateurs de symétrie : Théorème de Ehrenfest Lobservable T ne dépend pas du temps une bonne symétrie ne dépend pas explicitement de t Si T est un opérateur de symétrie [ T, H ]=0 Une observable T qui commute avec lhamiltonien H (= qui est un opérateur de symétrie) est une constante du mouvement (=sa valeur moyenne est indépendante du temps) Évolution dans le temps de la valeur moyenne dune observable T

11 Règles de sélection Si [ T, H ]=0 T commute aussi avec une exp de H Règles de sélection Si létat dun système est y 0 à t =0 (état propre de T avec une valeur propre y 0 ), létat du système restera état propre de T avec la même valeur propre y 0 au cours de son évolution. En théorie des perturbations : La mesure de T donne le même résultat y 0 quelque soit t. à à

12 Considérons le cas dune transformation infinitésimale (au premier ordre) Si A est une observable telle que A=A + d On néglige les termes en d 2

13 Translations On cherche la forme de T En utilisant le formalisme précédent Invariance par translationConservation de limpulsion [H,T]=0 Version quantique de ce que lon a vu en mécanique classique

14 Rotations On procède de même La rotation dun angle autour dun axe est décrite par lopérateur J x, J y, J z sont les générateurs des rotations Invariance par rotation conservation de [H,R]=0 Si un système a été préparé dans un état propre de de J 2 et de J z, il restera au cours de son évolution dans un état propre de ces 2 opérateurs, avec les mêmes valeurs propres.

15 Quantité non observableInvarianceLoi de conservation MQ : Opérateur(observable) qui laisse H invariant on montre quil commute avec H ([H,Q]=0) et (si il ne dépend pas explicitement du temps) - est une constante du mouvement - les nombres quantiques associés sont conservés (règles de sélection) Lopérateur peut être exprimé en termes dautres opérateurs ( les générateurs) On associe à ces générateurs des lois de conservation Tentative de résumé…

16 La charge électrique Cest un nombre quantique additif Par analogie avec les rotations et les translations Si S ( ) commute avec H : conservation de la charge électrique Dans une réaction Puisque tous les états physiques ont une charge déterminée leffet de ces opérateurs est de multiplier la fonction donde par un facteur de phase Opérateur de symétrie associé à la charge électrique Observable : la charge électrique Nombre quantique additif : cest une grandeur qui prend des valeurs discrètes et dont la valeur pour un système est égale à la somme de ses valeurs pour les composants du système Transformation de phase ou transformation de jauge globale On peut faire de même avec les autres nombres quantiques additifs (baryonique, leptonique…). Ces transformations qui ne font pas intervenir la situation dans lespace sont dites symétries internes.

17 .. transformation de jauge locale : transformation de jauge globale ne modifie pas lÉq de Schrödinger : transformation de jauge locale si satisfait léquation de Schrödinger Pour les particules chargées la solution est la suivante :en présence dun champ elm lÉq de Schrödinger est modifiée si on définit La forme de (*) ne change pas si

18 On peut réinterpréter ce résultat en disant que linvariance de phase locale fait apparaître un terme de champ Lexistence dinvariance sous transformation locale implique lexistence dune interaction électromagnétique proportionnelle à la charge q (la valeur numérique de q est à déterminer cest un paramètre libre de la théorie)

19 Grandeurs non observables InvarianceConservation position absoluetranslationimpulsion temps absoludéplacement dans le temps énergie direction absoluerotationmoment cinétique phase relative entre particules chargées transformation de jauge de charge charge électrique phase relative des quarks et des autres particules transformation de jauge baryonique nombre (charge) baryonique phase relative des e e,, et des autres particules transformation de jauge électronique, muonique,tau nombre leptonique (électronique, muonique,tau)

20 Spin et moment angulaire orbital spin moment angulaire orbital Classiquement 3 composantes : mesurables avec la précision souhaitée peuvent prendre nimporte quelles valeurs MQ (Heisenberg): Mesure de L 2 et de L z Quantification : L 2 : L z : (*) (*) Les opérateurs(générateurs) des rotations forment une algèbre de commutation puisque [J i,J k ]=i jkl J l =+1(-1) permutation cyclique(anticyclique) de 1,2,3 =0 dans les autres cas. Puisque deux opérateurs J ne commutent pas entre eux, seulement les valeurs propres dun dentre eux (on choisit dhabitude J z ) sont des nombres quantiques utiles. Opérateurs de Casimir : combinaisons non-linéaires des générateurs qui commutent avec tous les générateurs. Pour le groupe de rotation il y en a un seul J 2 =J 2 1 +J 2 2 +J 2 3 ; [J,J i ]=0

21 Pour le spin cest similaire : –S 2 prend les valeurs –Et S z : Une particule peut avoir nimporte quel moment orbital mais son spin est fixé Bosons (spin entier)Fermions (spin demi-entier) spin 0spin 1spin 1/2spin 3/2 -vecteurs des interactions quarks, leptons - mésons pseudo- scalaires (,K..) mésons vecteurs(,K * ) baryons (octet)baryons (décuplet) Élement. Compo.

22 Addition des moments angulaires On a : moment angulaire total : Calcul de –projection suivant laxe z m = m 1 + m 2 –et pour J 2 : On a Coefficients de Clebsch-Gordan(CG) Proba. dobtenir si on mesure J 2 pour un système constitué de (carré du coeff. de CG)

23 Un exemple de table de coefficients de Clebsch-Gordan

24 - Vecteurs propres |j,m> - Le sous-espace H J qui correspond à une valeur donnée de J est de dimension 2J+1 (prenant toutes les valeurs entre –J et J) - On peut construire les vecteurs de base de cet sous-espace à partir de lun dentre eux à laide des opérateurs J ± = J x ± iJ y - Lutilisation des bases standard permet de remplacer les opérateurs (de rotation) par des matrice unitaires (2J+1)(2J+1) ( les matrices de rotation) Représentation dun Opérateur dans une base Matrice

25 En général : combinaison linéaire matrices de Pauli Les matrices de Pauli sont hermitiennes et les matrices de transformation U( i )=exp(-i i i /2) sont unitaires. Lensemble de ces matrices 2 2 forment le groupe U(2) qui est plus large que le groupe contenant les générateurs i, car ces matrices ont toutes une trace zéro ( groupe SU(2)) Exemple J=1/2, particule de spin 1/2

26 Il y a différentes représentations dans SU(2) Dim J ½ /2 Correspond à i On dit que cest la représentation fondamentale car on peut construire, en partant delle, toutes les autres représentations 1/2 1/2 = 0 1 1/2 1/2 1/2 = (0 1) 1/2 = 1/2 3/2 On peut construire les multiples à partir du multiplet fondamental ½ (dim 2)

27 Quelques définitions + rappel -générateurs dun groupe dim 2 –1 (nombre de matrice indépendantes) -Rang dun groupe = nombre de matrices diagonales, correspondant au nombre dopérateurs qui commutent = observables (par ailleurs le Rang = nombre dopérateurs de Casimir) GroupeMatrices du groupe U(n) n x n unitaires SU(n) n x n unitaires déterminant=1 O(n) n x n orthogonales SO(n) n x n orthogonales avec déterminant =1 groupe de toutes les rotations dans un espace à n dim. (nous : SO(3))

28 Hélicité Particule de spin Orientation dun axe le long de limpulsion Hélicité : Valeurs propres Si masse=0 2 valeurs propres seulement : s Particule gauche ss Particule droite Lhélicité est invariante par rotation (produit scalaire de 2 vecteurs) inclusion dans lECOC {J 2,J z, } Lhélicité est invariante par transformation de Lorentz (si celle ci namène pas la particule au repos). est le générateur infinitésimal dune rotation autour de p et commute donc avec les TL qui naffectent pas les vecteurs

29 La parité (P) Change z x y z x y P On peut aussi avoir des états sans parité bien définie : hélicité

30 Souvent au lieu de lopérateur Parité on introduit lopérateur « Réflexion par rapport à un plan » que lon peut représenter facilement : Parité = Parité + Rotation de autour dun plan Or puisque tous les Hamiltoniens dinteraction sont invariants par rotation on utilise indifféremment P ou P Le transformé par parité dun objet sobtient en faisant subir une rotation de (suivant u) à son image au miroir Considérons la parité sous un autre angle. Au lieu de considérer la parité comme une opération que lon applique à un système physique on peut limaginer comme une transformation qui fait passer des observations de physique faites par un physicien qui utilise un système dAXES À DROITE aux observations faites par un autre physicien qui utilise un système dAXES À GAUCHE. Digressons …

31 En physique macroscopique : Les lois de physique sont invariantes si lon passe dun système daxes DROITE GAUCHE Les lois de physique ne permettent pas de distinguer la droite et la gauche de façon absolue Parité conservée. De façon un peu plus formelle on dit que étant donné que lopérateur de parité commute avec lHamiltonien, P est une observable, on peut donc mesurer ces nombres quantiques ± 1 et ces nombres quantiques sont conservés dans lévolution

32 Parité dun système de particules Système de particules : (1) et (2) Fonctions de spin Fonctions orbitales Parité = 1 2 L Moment angulaire orbital l Parité = 1 2 L

33 Parité intrinsèque dune particule une particule de spin J est décrite par une fonction de spin (scalaire, spineur,vecteur..) –Fonction de spin : elle se transforme de façon spéciale sous le groupe des rotations –Le spin est une fonction propre de P valeur propre : parité intrinsèque J P Opération dinversion spatiale : pas évident pour une particule… 1 A+B –État final de 2 particules avec un mouvement relatif peut être examiné en terme de transformation de parité parité bien définie –Si linteraction conserve la parité parité de 1 particule définie : parité intrinsèque Donc la parité intrinsèque a un sens parce que il y a interaction et que cette interaction conserve la parité

34 Parité intrinsèque dune particule (suite) Il faut néanmoins définir la parité intrinsèque de certaines particules la parité des autres est fixée par lexpérience Exemple :e + e - P i = P e+ P e- = P f = P l –Exp : on mesure l P e+ P e- = -1 –On détermine le produit P e+ P e- mais on ne peut pas déterminer les parités individuelles car les e + et les e - ne sont jamais créés seuls. On fixe Parité(particules) = +1 et Parité(anti-particules) = -1 spin parité +1scalaire 0-0- parité -1pseudoscalaire spin parité +1pseudovecteur 1-1- parité -1vecteur cf TD

35 Conjugaison de charge (C) particule anti-particule C : définie pour une particule neutre ou pour un système particule-anti-particule Désintégration 0 2 (C =-1 C 0 =1) expérimentalement : C est conservée par linteraction électromagnétique C : nombre quantique multiplicatif

36 Renversement du temps En mécanique classique En MQ cest assez délicat, il ny a pas dopérateur «mesure du temps » en MQ t -t t=-t 1 t=t 1 t=0 t=-t 1 t=t 1 t=0

37 Si on effectue le changement t - t dans leq de Schrödinger on a : On voit que ( x, t ) et ( x,- t ) nobéissent pas à la même équation. Par contre si on prend le complexe conjugué de léquation transformée on trouve Cest donc *( x,- t ) le transformé de ( x, t ) par renversement du temps. cf Messiah

38 Notes de cours

39 Composition des spins Une base est exprimée en termes dautres bases par la relation : Par exemple J A =J B = ½ J=0,1 la décomposition peut être écrite de façon symbolique en utilisant les dimensions (la taille du multiplet) pour indiquer les représentations irréductibles : 2 2=3 1 Si on rajoute une troisième particule de spin ½ : (2 2) 2 =(3 2) (1 2) = Si on veut construire les états propres (cas ½, ½ ) : Il nest pas nécessaire de spécifier J A =J B Exemple 1 ½ : Note : pratiquer les coefficients de C.G. Quadruplet Doublet C : Coeff. de Clebsch- Gordan (PDG p ) Triplet 3 singlet 1

40 On rappelle ici aussi que souvent on considère des réactions A+B C+D où les particules A et B ont un spin et aussi un moment orbital L. Dans un système à deux corps on introduit la distance relative et on définit par rapport à Il y a : 1 moment cinétique orbital pour un système à deux corps 2 moments cinétiques orbitaux pour un système à trois corps Combinaison des moments angulaires : on considère les spins et les moments cinétiques orbitaux A B A B C

41 Système de deux particules (résumé) Mouvement relatif : Centre de masse (P=0) :

42 Échange de deux particules On considère un système de deux particules x 1 et x 2. La parité du système est donnée par = (-1) l puisque Échange de deux particules A et B. Le nombre quantique associé à cette opération est donné par = (-1) l+S+1 pour les fermions et C = (-1) l+S pour les bosons. Exemple de 2 spins ½ : on obtient Triplet 3 singlet 1 Symétrique sous léchange A-BAnti-symétrique sous léchange A-B Lopération échange de deux particules consiste en une opération de parité (échange spatial) ( (-1) l ). Puis à changer A et B ds lexpression de la f.o. de spin ( (-1) S+1 ).


Télécharger ppt "Cours 5 : symétries et lois de conservation Symétries, lois de conservation Spin et moment angulaire orbital Addition des moments angulaires Spin 1/2 Symétries."

Présentations similaires


Annonces Google