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J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts donde 1 Fronts donde 3-D Introduction ; Fronts donde Trame cuboctaèdrique Extrémités et bifurcations : rein.

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1 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 1 Fronts donde 3-D Introduction ; Fronts donde Trame cuboctaèdrique Extrémités et bifurcations : rein embryonnaire Nombre dEuler-Poincaré Goulets et dénombrements : diaphyse du tibia Métriques digitales : Ostéocytes J. Serra A2SI ESIEE, Un. Paris-Est Labo A²SI ESIEE Un. Paris Est, France Conférence AMINA Monastir,Tunisie novembre 2008

2 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 2 Arborescence de reins embryonnaires Arborescences du développement in vitro de reins dembryons de rat (Prof. John Bertram, Dpt. danatomie, Faculté de Médecine Un. de Melbourne): Comment caractériser leurs branchements et leurs extrémités 3-D ?

3 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 3 Diaphyse du tibia dun embryon de poulet Deux coupes dune série de cent (Dr. M. Staub,M. Mendjeli, Service dorthopédie, CHU St Louis, Paris) : Comment caractériser les cylindres emboîtés et leurs raccords ?

4 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 4 Deux coupes dune série de 60 (Prof. V. Howard, Dpt danatomy, faculté de médecine, Un. De Liverpool) Comment extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale J. Serra Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts Image Analysis & Stereology, n° 21, sept 2002 Extraction d ostéocytes

5 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 5 Front donde géodésique Lorsqu'on provoque un ébranlement en jetant un caillou dans un lac, un chapelet d'ondes se déploie et progresse, en contournant les obstacles éventuels, jusqu'aux points les plus éloignés du milieu. Le front d'onde, circulaire en l'absence de bords, lèche sinon les contours des îles et du lac pour finir par le parcourir complètement Disque géodésiqueFonction distance géodésique

6 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 6 Métrique géodésique C'est pour extraire des objets connexes pointés par des marqueurs que F. Meyer et J.C. Klein a le premier transposé ces notions au cadre de la morphologie mathématique, et la première formalisation, sous le nom de ''métrique géodésique'' fut établie par C. Lantuejoul et S. Beucher. Elle repose sur le thèorème suivant de G.Choquet Théorème : Soit E un espace métrique compact et soient A et B deux parties fermées disjointes de E. S'il existe des courbes rectifiables d'extrémités dans A et B, et si désigne la borne inférieure de leurs longueurs, alors il existe un arc simple de longueur et d'extrémités dans A et B.

7 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 7 Les 12 projections du centre du cube sur ses arêtes génèrent un cube-octaèdre de 13 voxels. Les cube-octaèdres ne pavent pas lespace (ils laissent les lacunes octaédriques entre eux) Cependant, ils génèrent un réseau régulier où toutes les arêtes ont la même longueur. Digitalisation: Boule => Cuboctaèdre

8 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 8 Décomposition en quinconces des sections du cuboctaèdre En trame cubique, on construit les éléments structurants dodécaèdriques en adoptant deux modes, selon que le centre est dans un plan pair ou impair : Plans du haut et du bas : plan central impair : Plans du haut et du bas : plan central pair : Grilles en Quinconce

9 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 9 Eléments ultimes de fronts d'onde Soit B (x) la boule géodésique ouverte de rayon et de centre x et la borne supérieure des tels que B soit strictement inclus dans Z. Comme les compacts non vides Z \ B (x), < décroissent l'intersection È { Z \ B (x), < } est un compact non vide, dont tous les points sont à la distance maximale de x. On appelle ''érodé ultime'' cette intersection, et B (x) dilaté ultime du point x. L'existence de points extrêmes s'envisager aussi bien dans un cadre régional, et non plus global.

10 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 10 Fronts d'ondes et arborescences (I) Soit Z un compact de Z n et x Î Z, un point de Z. Etudions la variation du nombre des composantes connexes du front d'onde F(,x) quand, augmentant, l'espace Z est balayé. On suppose que les éléments critiques bifurcation ou confluent restent en nombre fini, de sorte qu'on peut toujours trouver au voisinage d'une bifurcation, un intervalle ouvert ne contenant quelle. Exemple de bifurcation F(,x) x

11 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 11 Fronts d'ondes et arborescences (II) Le compact K Z \ ° x) possède une unique composante connexe, lorsque.Pour déterminer ce qui se passe en notons d'abord que s'agissant de compacts, on a È { K, < } = K De plus, K est formé d'une seule composante connexe. Sinon, elles seraient séparées par une distance minimale d, ce qui est incompatible avec le fait que pour toute dilatation de taille avec 0<

12 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 12 Fronts d'ondes et arborescences (III) On a le résultat suivant Proposition: Soit un compact Z de Z n. Si pour tout point x Î Z, le front d'onde F(,x) issu de x admet un nombre fini, et à variation finie, de composantes connexes, alors quand le rayon varie F(,x) partitionne Z en un nombre fini de tronçons connexes correspondant à des intervalles ouverts de et séparés par des composantes connexes du front qui sont localisées aux points critiques des bifurcations.

13 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 13 Fronts d'ondes et arborescences (IV) Remarques: L'application «arborescence» x ® P(x) qui, à tout point x Î Z associe un partition, varie évidemment avec le choix du point x. Un arbre (végétal) est une partition pour laquelle il n'existe pas de confluents pour x convenablement choisi (i.e. dans le tronc). C'est de connexité qu'il est ici question, et non pas d'homotopie: les tronçons peuvent présenter des pores fermés ou être percés de trous.

14 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 14 Arborescence de rein embryonnaire Problème : Caractériser larborescence du développement In vitro du rein dun embryon de rat Méthode : en quatre étapes: 1/ construction d'un ensemble à partir des données initiales 2/ fonction distance géodésique du point dancrage 3/ extrémités; 4/ branchements.

15 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 15 Rein binarisé (vue perspective) Fonction distance du pied Arborescence de rein embryonnaire

16 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 16 Maxima de la distance (non filtrés) Extrémités (filtrées) Arborescence de rein embryonnaire

17 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 17 Bifurcations tridimensionnelles vues en perspective sur la projection du rein Arborescence de rein embryonnaire

18 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 18 Les graphes spatiaux sont le point de passage obligé entre espaces euclidien et digital pour toutes les questions dhomotopie. Définis dans Å 3, ils peuvent être réinterprétés dans Í 3, et les notions qui en dérivent possèdent le même sens dans les deux espace. Cest en particulier le cas pour le nombre (Y) dEuler- Poincaré (ou ECP) de lensemble Y = X ~ E ~ F formé des sommets, arêtes, faces et blocs du graphe X, et qui vaut (Y) = N (sommets) + N (faces) - N (arêtes) - N (blocs) Du point de vue digital, le problème consiste alors à associer des graphes convenables aux objets étudiés. Nombre d Euler -Poincaré

19 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 19 Dans Z 1 on a (Y) = N (sommets) - N (arêtes) = N ( ) - N ( ). Dans Z 2 il vient pour la grille carrée, (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) = N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ). Par comparaison entre et, on trouve (Y) = (Y) - (Y, ). Nombre d Euler -Poincaré Digital

20 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 20 De même, dans Z 3 il vient pour la grille cubique (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) - N (blocs) = N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ) - N ( ) + N ( ) + N ( ) - N ( ) On retrouve le même accroissement que précédemment, puisque (Y) = ( Y ) - ( Y, ) ( 1 ). Nombre d Euler -Poincaré Cubique

21 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 21 Problème :(diaphyse du tibia dun embryon de poulet) : - Los se structure en cylindres co-axiaux : les segmenter ; - Ces cylindres sont à peu près équidistants et connectés entre eux par des ponts étroits : les extraire ; - Des trous sont répartis sur los : les compter. Tibia (vue du dessus) et marqueur interne Segmentation du tibia

22 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 22 Description quantitative : On envahit le tibia à partir du centre, par dilatations géodésiques. On mesure à chaque pas le volume du front donde et on en trace la courbe. Les minima indiquent la traversée des zones « ponts » Segmentation du tibia

23 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 23 Les minima indiquent la traversée des zones « ponts », doù la segmentation en enveloppes cylindriques emboîtées. Segmentation du tibia

24 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 24 Tibia : pour la pile des 100 sections, nous avons (tibia) = (une composante connexe unique, mais percée de trous) Nombre dEuler du tibia

25 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 25 Ponts: Par différence entre les dilatations géodésiques n° 6 et 5 on obtient le premier jeu de ponts. On peut régulariser par une petite dilatation 3-D de taille un (ponts) = 1447 (ponts + B ) = 32 Nombre dEuler du tibia

26 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 26 But : extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale - Clichés a) et b) : sections 15 et 35 ; - Image c) : supremum M des 60 sections. a)b) c) Extraction d ostéocytes

27 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 27 d ) : seuil de c) au niveau 60 ; e) : ouverture connexe de d) f) : dilatation géodésique infinie de la séquence seuillée au niveau 200, dans le masque e) ( visualisation en perpective ) d) e)f) Extraction d ostéocytes

28 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 28 Certaines structures 3-D sont à peu près visibles, dautres pas; Les structures de type géométrico-topologique, comme: bifurcations, extrémités, étranglements sont accessibles par front donde 3-D, associé à des mesures du nombre dEuler-Poincaré; On implémente ces fronts par des dilatations géodésiques cube-octaèdriques; La méthode, présentée pour des exemples danatomie, sapplique aussi bien à limagerie radiologique (scanner X, RMN). Conclusions

29 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 29 Merci de votre attention !

30 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts donde 30 J. Serra "Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts" Image Analysis & Stereology - Special issue "Looking at Measurement from Various Operations of Image Analysis", dedicated to 8th ECS, Bordeaux, sept. 2001, (Supplt 1): p. S13-S21 Référence


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