Division euclidienne - décimale

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1 Division euclidienne - décimale
Chapitre 6 Division euclidienne - décimale

2 dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur
I. Division euclidienne Définition : Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que : dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur

3 Exemples : En utilisant les tables de multiplication, on a 52 = ( 6 x 8 ) + 4 et 4 < 6 Dans la division euclidienne de 52 par 6, le quotient est 8 et le reste est 4. Attention, on pourrait écrire 52 = ( 6 x 7 ) + 10 mais 10 > 6 donc ce n'est pas la véritable division euclidienne. La division euclidienne est unique.

4 On peut également poser l'opération :
Exercice : En posant la division euclidienne de 185 par 7, on trouve = ( 7 x 26 ) + 3 et 3 < 7

5 II. Critère de divisibilité
On a 38 = ( 2 x 19 ) + 0 = 2 x 19. Le reste de la division euclidienne de 38 par 2 est zéro. Vocabulaire : On peut ainsi dire au choix que : 38 est un multiple de 2 38 est divisible par 2 2 est un diviseur de 38

6 Exemples : 20 est un multiple de 5 car 20 est dans la table de 5. 12 est divisible par 2 car le reste de la division euclidienne de 12 par 2 est égal à 0. 3 est un diviseur de 15 car le reste de la division euclidienne de 15 par 3 est égal à 0.

7 Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible : par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. par 10 lorsque son chiffre des unités est 0. par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4. par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

8 Exemples : 12 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2. 15 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. 250 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0. 216 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4. 93 est divisible par 3 car = 12 est divisible par 3. 288 est divisible par 9 car = 18 est divisible par 9.

9 III. Division décimale Définition :
Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante : b x ? = a. Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de ce quotient. On le note a : b.

10 Exemple : Posons la division de 23 par 5. On a donc 23 : 5 = 4,6

11 Remarque : Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotient comporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.

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13 On va donner une valeur approchée du quotient. Il en existe 2 sortes.
La troncature au dixième, au centième, au millième d'un nombre signifie que l'on coupe le nombres avec 1, 2, 3 chiffres après la virgule.

14 Remarques : On parle aussi de troncature par défaut et par excès d'un nombre. La troncature par défaut est la troncature normale. La troncature par excès est le nombre décimal directement supérieur à la troncature. Avec une troncature par défaut au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4 Avec une troncature par excès au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,5

15 Pour calculer un arrondi d'un nombre au dixième, il faut choisir regarde le chiffre suivant. Si le chiffre suivant est 0, 1, 2, 3 ou 4, on choisi comme arrondi la troncature par défaut. Si le chiffre suivant est 5, 6, 7, 8 ou 9, on choisi comme arrondi la troncature par excès. Avec un arrondi au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4 Avec un arrondi au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,43