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Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). Application à linfographie. Rappel...

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1 Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). Application à linfographie. Rappel...

2 Aujourdhui Sous-espaces de R n : –Définition; –Sous-espaces associés à une matrice; –Bases; –Coordonnées; –Dimension; –Rang.

3 8. Sous-espaces de R n Espaces et sous-espaces vectoriels. Sous-espaces: souvent liés à une matrice A. Nous donnent des indications sur léquation Ax = b.

4 Définition: sous-espace de R n Un sous-espace de R n est un ensemble H dans R n ayant les trois propriétés: a. Le vecteur zéro est dans H. b. Pour chaque u et v dans H, la somme u + v est dans H. c. Pour chaque u dans H et chaque scalaire c, le vecteur cu est dans H.

5 Soit une matrice A m n, lespace des colonnes (ou image) de A est lensemble, dénoté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. En langage mathématique, on écrit Définition: espace des colonnes Col A = {b| et b = Ax pour un quelconque }

6 b est-il dans Col A? Il faut déterminer si le système Ax = b a une solution (i.e. sil est compatible). Méthode: matrice augmentée [A b] et réduction sous forme échelon.

7 Définition: noyau de A Soit une matrice A m n, le noyau de A est lensemble, dénoté Nul A, de toutes les solutions de léquation matricielle homogène Ax = 0. En langage mathématique, on écrit Nul A = {x| et Ax = 0}

8 Noyau dune matrice Le noyau dune matrice A m n est un sous-espace de R n. De même, lensemble de toutes les solutions dun système Ax = 0 de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de R n.

9 x est-il dans Nul A? Facile! On fait Ax. Si Ax = 0, alors x est dans Nul A.

10 Nul A et Col A Nul A: définition implicite, on doit vérifier chaque vecteur. Col A: définition explicite, on peut construire les vecteurs en combinant linéairement les colonnes de A.

11 Définition: base Une base pour un sous-espace H de R n est un ensemble linéairement indépendant dans H qui engendre H.

12 Base pour Col A Les colonnes pivot dune matrice A forment une base pour Col A.

13 Définition: coordonnées B de x Supposons que lensemble B = {b 1,..., b p } soit une base dun sous-espace H. Pour chaque x dans H, les coordonnées de x relativement à la base B (ou les coordonnées B de x) sont les coefficients c 1,..., c p tels que x = c 1 b c p b p,

14 Coordonnées B de x (suite) est appelé le vecteur de coordonnées de x relativement à la base B. et le vecteur dans R p

15 Définition: dimension La dimension dun sous-espace non-nul H, dénotée dim H, est le nombre de vecteurs dans une base quelconque de H. La dimension du sous-espace zéro, {0}, est définie comme étant égale à 0.

16 Définition: rang dune matrice Le rang dune matrice A (Rang A) est la dimension de lespace des colonnes de A.

17 Rang dune matrice Les dimensions des espaces des colonnes et des espaces des lignes dune matrice A m n sont égales. Cette dimension commune, le rang de la matrice A, est aussi égale au nombre de positions pivot de A et satisfait léquation rang A + dim Nul A = n

18 Théorème sur les bases Soit H un sous-espace de R n de dimension p. Tout ensemble linéairement indépendant contenant exactement p éléments dans H est automatiquement une base pour H. Également, tout ensemble de p éléments de H qui engendre H est automatiquement une base pour H.

19 Prochain cours... Déterminants: –définition; –propriétés; –règle de Cramer; –calcul de linverse dune matrice; –aire et volume; –transformations linéaires.


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