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Chapitre 5 Choix et demande. Rationalité économique u Un consommateur choisit un panier préféré dans lensemble des paniers disponibles. u Ensemble des.

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1 Chapitre 5 Choix et demande

2 Rationalité économique u Un consommateur choisit un panier préféré dans lensemble des paniers disponibles. u Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget. u Nous avons vu au chapitre précédent ce quon voulait dire par « préféré » u Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)

3 Rationalité économique u Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur. u Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.

4 Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous- contrainte

5 Le programme mathématique (PC) u A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass) u Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles u Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?

6 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2

7 x1x1 x2x2 Utilité

8 Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2x2 x1x1

9 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 Utilité

10 Choix Rationnel sous contrainte utilité x1x1 x2x2

11 Choix Rationnel sous contrainte utilité x1x1 x2x2

12 Choix Rationnel sous contrainte utilité x1x1 x2x2

13 Choix Rationnel sous contrainte utilité x1x1 x2x2

14 Choix Rationnel sous contrainte utilité x1x1 x2x2 Disponible mais pas optimal

15 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 Utilité disponible, mais pas optimal. Le préféré parmi les paniers Disponibles.

16 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 Utilité

17 Choix Rationnel sous contrainte Utilité x1x1 x2x2

18 Choix Rationnel sous contrainte Utilité x1x1 x2x2

19 Choix Rationnel sous contrainte Utilité x1x1 x2x2

20 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2

21 x1x1 x2x2 paniers disponibles

22 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 Paniers disponibles

23 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 Paniers disponibles Paniers préférés

24 Choix Rationnel sous contrainte Paniers disponibles x1x1 x2x2 Paniers préférés

25 Choix Rationnel sous contrainte x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2*

26 x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* (x 1 *,x 2 *) est le panier préféré dans lensemble des paniers disponibles.

27 Choix Rationnel sous contrainte u Le panier préféré dans lensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE u Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse. u On note cette relation fonctionnelle x 1 *(p 1,p 2,R) et x 2 *(p 1,p 2,R).

28 Choix rationnel sous contrainte u Lorsque C = R n + et x i * > 0 pour tous les biens i, le panier demandé est dit INTERIEUR. u Si acheter (x 1 *,…,x n *) coûte R euros alors la contrainte budgétaire est saturée.

29 Choix Rationel sous-contrainte x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* (x 1 *,x 2 *) est intérieur. (x 1 *,x 2 *) sature la Contrainte budgetaire.

30 Choix Rationnel sous Constrainte x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* (x 1 *,x 2 *) est intérieur. (a) (x 1 *,x 2 *) sature la C. B. p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R.

31 Choix Rationnel sous Contrainte x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* (x 1 *,x 2 *) est intérieur. (b) La pente de la courbe dindifférence à (x 1 *,x 2 *) est égale à la pente de la droite de budget.

32 Choix Rationnel sous contrainte u (x 1 *,x 2 *) satisfait 2 conditions: u (a) la contrainte budgétaire est saturée p 1 x 1 * +…+ p n x n * = R u (b) la pente de la droite de budget, -p i /p j, et la pente de la courbe dindifférence passant par (x 1 *,x 2 *) sont égales à (x 1 *,x 2 *).

33 Choix Rationnel sous contrainte u La condition (a) sera vérifiée par tout choix dun panier préféré dès lors que les préférences sont localement non- saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non) u La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.

34 Comment résoudre PC ? u

35 u Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire u p 1 x 1 * +…+ p n x n * = R u x 1 * = (R - p 2 x 2 * -…- p n x n * )/p 1

36 (PC) devient donc:

37 Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:

38 Et donc:

39 Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal

40 Plus précisément un panier (x 1 *,…x n *) qui satisfait:

41 Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas u On se rappelle que les préférences Cobb-Douglas se représentent par la fonction dutilité.

42 Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas u Si les préférences se représentent par. u Alors

43 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. u Donc le TMS est

44 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. u Donc le TMS est u u A (x 1 *,x 2 *), TMS = -p 1 /p 2 donc (A)

45 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. u Puisque (x 1 *,x 2 *) sature également la contrainte budgétaire, on a (B)

46 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. u Nous savons donc que (A) (B)

47 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. u Nous savons donc que u Substituons dans (B) (A) (B)

48 Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb- Douglas. u Nous savons donc que (A) (B) Substituons Pour obtenir Ce qui se simplifie pour donner ….

49 Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb- Douglas.

50 Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb- Douglas. En substituant pour x 1 * dans On obtient

51 Déterminer les demandes Marshalliennes – Un exemple Cobb-Douglas. Nous avons donc découvert que le panier disponible préféré dun consommateur avec des préférences Cobb-Douglas estest

52 Préférences Cobb-Douglas: une illustration géométrique. x1x1 x2x2

53 Quarrive t-il si le panier préféré contient une quantité nulle dun bien ?

54 Un exemple: le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1

55 Un exemple: Le cas des substituts Parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1 pente = -p 1 /p 2 avec p 1 > p 2.

56 Un exemple: le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1 pente = -p 1 /p 2 avec p 1 > p 2.

57 Un exemple: Le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1 pente = -p 1 /p 2 avec p 1 > p 2.

58 Un exemple: le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1 pente = -p 1 /p 2 avec p 1 < p 2.

59 Un exemple: Le cas des substituts parfaits Donc, si U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2, la demande marshallienne est si p 1 < p 2 si p 1 > p 2.

60 Un exemple- le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 TMS = -1 pente = -p 1 /p 2 avec p 1 = p 2.

61 Un exemple: le cas des substituts parfaits x1x1 x2x2 Tous les paniers satisfaisant la contrainte à égalité sont préférés aux autres Paniers disponibles lorsque p 1 = p 2.

62 Un exemple: Le cas des substituts parfaits Donc, dans ce cas la demande marshallienne est une correspondance Définie par si p 1 < p 2 si p 1 > p 2. si p 1 = p 2

63 Autre exemple de solution de coin -des préférences non-convexes x1x1 x2x2 mieux

64 Autre exemple de solution de coin- des préférences non- convexes x1x1 x2x2

65 Autre exemple de solution de coin – des préférences non-Convexes x1x1 x2x2 Quel est le panier disponible préféré?

66 Autre exemple de solution de coin – des préférences non- convexes x1x1 x2x2 Le panier disponible préféré

67 Autre exemple de solution de coin– des préférences non-convexes x1x1 x2x2 Le panier disponible préféré Notons que la condition (de 1er ordre) TMS = p 1 /p 2 ne caractérise pas le panier disponible préféré ici.

68 Un exemple non-dérivable- Les préférences pour les compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 a

69 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 TMS = 0 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1

70 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 TMS = - TMS = 0 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1

71 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 TMS = - TMS = 0 TMS pas défini U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1

72 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1

73 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 Quel est le panier disponible préféré ?

74 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 Le panier disponible préféré

75 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x1*x1* x2*x2*

76 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x1*x1* x2*x2* (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R

77 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x1*x1* x2*x2* (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R (b) x 2 * = ax 1 *

78 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R; (b) x 2 * = ax 1 *.

79 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R; (b) x 2 * = ax 1 *. La substitution à partir de (b) de x 2 * dans (a) donne p 1 x 1 * + p 2 ax 1 * = R

80 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R; (b) x 2 * = ax 1 *. La substitution à partir de (b) de x 2 * dans (a) donne p 1 x 1 * + p 2 ax 1 * = R ce qui nous permet dobtenir

81 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = R; (b) x 2 * = ax 1 *. La substitution à partir de (b) de x 2 * dans (a) donne p 1 x 1 * + p 2 ax 1 * = R ce qui nous permet dobtenir

82 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits x1x1 x2x2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1

83 Un exemple non-dérivable – les préférences pour les compléments parfaits u Demande marshallienne est une fonction (solution unique) u Préférences strictement convexes et compléments parfaits: impliquent toujours unicité des solutions


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