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Questionner la signification d'une repr é sentation iconique Nadia Douek Univ. De Nice.

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1 Questionner la signification d'une repr é sentation iconique Nadia Douek Univ. De Nice

2 Traitement iconique Quelques conséquences fâcheuses Linterprétation comme réponse Que veut dire interprétation Organisation de linterprétation en classe Quels rôles et place(s) du traitement iconique

3 L'iconicité comme caractérisant l'activité … et non pas la nature de la représentation, ni celle de l'objet traité. traitement iconique -> interprétation non complexe du signe -> schème reliant perception de signe(s) et mobilisation de procédure(s).

4 Le traitement iconique peut être problématique dans certaines phases de travail. Voici un exercice introductif à lalgébrisation qui a donné lieu à un traitement iconique (inadapté par essence) par 1/3 des élèves dune classe de 4ième:

5

6 Un numéro de rangée est mis en rapport avec un nombre de sièges. Un tiers des élèves voient une proportionnalité Il y parviennent de deux façons différentes

7 1) Cette mise en rapport est reconnue comme une situation de celles que l'on peut représenter par un tableau. Il devient icône et il est traité comme un tableau de proportionnalité. Des procédures associées sont déclanchées… 2) relations numériques / proportionnalité sont directement associés. Peut-on parler de traitement iconique quand il n y a pas traitement d un signe pr é cis ?

8 La plupart de ces élèves nont pas remis en question cette « interprétation » même quand ils ont réussi à avancer dans lexercice

9 Nous décidons de « déconstruire » ce schème et son résultat avant la recherche de régularité des expressions arithmétiques et la mise en évidence d'une structure d'écriture stable (et algébrisable) des relations numériques. Pour cela faire entrer tous les élèves dans linterprétation de licône tableau Ou de licône sans signe relation numérique/ proportionnalité à partir de la confrontation de deux productions délèves

10 Rémi:

11 En traitant le tableau de proportionnalité Rémi engage des schèmes associés: Il recherche et exprime une relation multiplicative.

12 Traitement des é carts dans le tableau et dans les calculs num é riques pour la 100i è me rang é e Eve:

13 L à aussi une proc é dure est d é clanch é e, certainement rencontr é e dans le traitement des tableaux de proportionnalit é, mais semble control é e par v é rification, ce n est pas un traitement iconique

14 La plupart des élèves ont utilisé des registres sémiotiques spécialisés et restreints. Et ont peu fait référence à la situation Mais tous ceux qui y ont fait référence ont bien structuré les relations numériques en distinguant variables et constantes de la relation

15 réflexion didactique sur le rôle et la place du traitement iconiques dans la prise en charge d'une situation, les références à partir desquelles sont interprétés (et/ou traités) les éléments de la situation Pour remettre en question le traitement iconique et pour re-conceptualiser laspect mathématique de la situation: Interprétation des signes, de lexpression et de la situation.

16 Injecter de l interpr é tation : Par un d é bat à partir de la comparaison des productions de R é mi et d Eve L'intérêt de juxtaposer ces deux productions est de pousser l'ensemble des élèves Rapprocher différents registres, Jouer sur les changements de registres, Relier représentations et référence => ouvrir des voies d'interprétation.

17 Est-ce que le tableau dEve correspond à ce que souhaitait faire Rémy ? Elaboration langagière et argumentation reliant des représentations dans différents registres sémiotiques. Dans un tableau de proportionnalit é la 2 è me colonne c'est des multiples de la 1i è re Raisonnements pour évaluer la cohérence entre représentations ou procédures (égalités, tableau) Serait-ce possible que le nombre de si è ges soit multiple du num é ro de rang é e?? interprétation de la signification de la proportionnalité dans cette situation

18 D é construire le traitement iconique En injectant l interpr é tation Et Nommer le sch è me « reconnaissance de r é gularit é » mais alors sur quoi porte la régularité, la multiplication par 3? … qui pr é disposera au traitement iconique ult é rieur

19 Dans le traitement iconique il ny a pas ces jeux entre différents registres ni de liaisons avec quelques références Le traitement iconique sera pourtant nécessaire pour affirmer une structure ou une régularité.

20 c'est ce qui a lieu vers la fin de la séance de discussion quand les élèves appliquent la « formule » (visuelle ou sonore) scandée pour chaque nouveau numéro de ligne, 4 + 3x x x3 … sans plus se demander pour quelle raison on multiplie par trois, etc.

21 Dans le débat Rémi a su exprimer verbalement la situation mathématique Mais ne rejette pas la référence à la proportionnalité Eve exprime verbalement lécart « pour voir combien de si è ges é taient entre chaque rang é e » Et le fait que lq multiplication par 3 est appliquée « à ce nombre » Deux lignes dargumentation vont se développer:

22 1) Certains cherchent à exprimer la relation numérique en étant sensibles au rôle de lécart: Pour voir combien de si è ges é taient entre chaque rang é e ils se détachent de la proportionnalité trouvée par leurs camarades Ils trouvent cette nouvelle variable, Et la relation ce nombre on le multiplie par 3 et on a le nombre de si è ges Et font des efforts pour exprimer verbalement les variables et leurs relations Jusquà parvenir à: C est l augmentation qui est proportionnelle

23 2) Dautres se demandent comment faire fonctionner différentes propriétés de la proportionnalité Ils tentent de vérifier les propriétés d'additivité: Parfois en procédant aux calculs verbalement Parfois en référence aux « formalismes » (les gestes et flèches usuelles) ou constatent quelles ne marchent pas: Le produit en croix ne marche pas … prolongement du traitement iconique.

24 R é capitulons: Dans la production individuelle, tr è s peu d é l è ves avaient parl é d é cart, les 2/3 de la classe n ont mentionn é aucune proportionnalit é mais confront é s à la production de R é mi, la discussion a port é sur l id é e d é cart et sur la proportionnalit é sur les é carts C est le sch è me de traitement iconique qui avait amen é certains à se r é f é rer à la proportionnalit é de fa ç on inad é quate

25 L interpr é tation a é t é le moyen de surmonter un sch è me aveugle d iconicit é qui avait donn é lieu à la proportionnalit é n°rang/nombre de si è ges partager une nouvelle structuration math é matique Une fois les repr é sentations interpr é t é es, c est le traitement iconique (visuel et sonore) qui va permettre de reconna î tre la r é gularit é et favoriser une é criture alg é brique En particulier la visualisation de la variable et des constantes


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