Les triangles isométriques

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1 Les triangles isométriques
= ~

2 Tout polygone est décomposable en un certain nombre de triangles.
Cette caractéristique donne aux triangles une importance particulière. En étudiant le triangle, on étudie en quelque sorte tous les polygones. Les triangles isométriques retiennent d’abord notre attention.

3 Les figures isométriques en général, donc les triangles isométriques, possèdent les propriétés suivantes : - mêmes mesures d’angles homologues; - mêmes mesures de côtés homologues; - mêmes périmètres et mêmes aires; - le rapport des lignes homologues est égal à 1. Elles sont donc parfaitement superposables. Prouver que des triangles sont isométriques nous permettra de démontrer de nouvelles situations géométriques.

4 Des triangles sont isométriques s’ils respectent certaines conditions.
Ces conditions sont : CCC : 3 paires de côtés homologues isométriques; CAC : une paire d’angles homologues isométriques compris entre deux paires de côtés homologues isométriques; ACA : une paire de côtés homologues isométriques compris entre deux paires d’angles homologues isométriques; Examinons ce que cela veut dire !

5 Propriété CCC : 3 paires de côtés homologues isométriques. Construisons deux triangles ayant les mêmes mesures de côtés. 3 cm 5 cm 4 cm 4 cm 5 cm 3 cm Lorsque deux triangles ont trois paires de côtés homologues congrus, il est impossible de construire deux triangles différents. Si deux triangles ont trois paires de côtés homologues isométriques, ils sont nécessairement isométriques (CCC). CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues isométriques.

6 Propriété CAC : 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues isométriques. Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues congrus. 5 cm 5 cm 500 500 8 cm 8 cm La seule manière de compléter ces triangles est comme suit. Si deux triangles ont une paire d’angles homologues isométriques compris deux paires de côtés homologues isométriques, ils sont nécessairement isométriques (CAC). entre CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues isométriques et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.

7 Propriété ACA : 1 paire de côtés homologues isométriques compris entre 2 paires d’angles homologues isométriques. Construisons deux triangles ayant une paire de côtés homologues congrus compris entre deux paires d’angles homologues congrus. 600 600 400 400 7 cm 7 cm La seule manière de compléter ces triangles est comme suit. Si deux triangles ont une paire de côtés homologues isométriques compris deux paires d’angles homologues isométriques, ils sont nécessairement isométriques (ACA). entre ACA est une abréviation; le C signifie une paire de côtés homologues isométriques et chaque A signifie une paire d’angles homologues isométriques.

8 Remarque 1 : Lorsque deux triangles sont isométriques, on retrouve nécessairement les trois propriétés CCC, CAC et ACA. Cependant, la bonne propriété à utiliser pour démontrer que deux triangles sont isométriques dépend des informations fournies par la situation. Exemples : 5,6 cm 3,6 cm 4 cm si alors CCC 5,6 cm 4 cm si alors CAC 4 cm si alors ACA

9 C’est le sigle du club automobile.
Remarque 2 : La propriété AAA n’est pas une condition qui prouve que deux triangles sont isométriques. Exemple : 600 300 600 300 Remarque 3 : CAA n’est pas une condition qui prouve que deux triangles sont isométriques. C’est le sigle du club automobile.

10 ∆ ABC ∆ ADC A B C D Voyons maintenant quelques applications.
Démontrer que : Toute diagonale d’un parallélogramme engendre deux triangles isométriques. Affirmations Justifications 1) ~ = AD BC et AB DC 1) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 2) ~ = AC 2) AC Car, est un côté commun aux deux triangles. 3) ∆ ABC ~ = ∆ ADC 3) CCC

11 ∆ EFG ∆ EHG E F G H Démontrer que :
Si la diagonale d’un quadrilatère est la bissectrice de deux angles opposés, alors elle forme deux triangles isométriques. Affirmations Justifications 1) FEG ~ = HEG 1) Car, EG est une bissectrice. FGE ~ = HGE 2) ~ = EG 2) EG Car, est un côté commun aux deux triangles. 3) ∆ EFG ~ = ∆ EHG 3) ACA

12 ∆ AEB ∆ CEB A B C E Démontrer que :
L’axe de symétrie d’un triangle isocèle partage ce triangle en deux triangles isométriques. Affirmations Justifications 1) ~ = AE CE 1) Car, l’axe de symétrie EB est la médiatrice de AC . 2) AEB ~ = CEB Car, est une médiatrice, donc une perpendiculaire. 2) EB 3) ~ = EB Car, est un côté commun aux deux triangles. 3) EB 4) ∆ AEB ~ = ∆ CEB 4) CAC

13 ∆ ABC ∆ ADC A B C D Démontrer que :
Les angles opposés d’un parallélogramme sont congrus. Affirmations Justifications 1) ~ = AD BC et AB DC 1) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 2) ~ = AC 2) AC Car, est un côté commun aux deux triangles. 3) ∆ ABC ~ = ∆ ADC 3) CCC 4) B ~ = D 4) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus. cet axiome Remarque : Après avoir démontré que deux triangles sont isométriques, peut être utilisé pour justifier une affirmation.

14 ∆ AOB ∆ COD A B C D O Démontrer que :
Dans un cercle, deux angles au centre congrus déterminent des cordes congrus. Affirmations Justifications 1) AO ~ = BO CO DO 1) Les rayons d’un même cercle sont congrus. AOB ~ = COD 2) 2) C’est une donnée du problème. 3) ∆ AOB ~ = ∆ COD 3) CAC 4) AB ~ = CD 4) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.

15 ∆ FED ∆ GDH Dans cette figure : DH = FD ~ F E D G H FE GH
Démontrer que : GH FE ~ = Affirmations Justifications 1) FDE ~ = GDH 1) Ce sont des angles opposés par le sommet. 2) DFE ~ = GHD 2) Ce sont des angles alternes-internes formés par des parallèles. 3) DH FD ~ = 3) C’est une donnée du problème. 4) ∆ FED ~ = ∆ GDH 4) ACA 5) GH FE ~ = 5) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.

16 se coupent en leur milieu.
A B C D E 3,1 cm 2 cm 400 450 Dans cette figure : AE BD et se coupent en leur milieu. A) Détermine la mesure de l’angle B en donnant l’énoncé qui justifie ton calcul. m B = 950 ; la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800. B) En vertu de quel énoncé, les deux triangles sont-ils isométriques ? CAC, car AC ~ = CE BC CD ; et c’est une donnée du problème. et ACB ~ = DCE ; angles opposés par le sommet. Détermine m D et donne l’énoncé qui justifie ta réponse. C) m D = 950 ; dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.