La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

©Pierre Marchand, 2001 69 Objectifs : À la fin de cette unité, -vous saurez comment passer dune base à lautre -vous saurez comment sont représentés dans.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "©Pierre Marchand, 2001 69 Objectifs : À la fin de cette unité, -vous saurez comment passer dune base à lautre -vous saurez comment sont représentés dans."— Transcription de la présentation:

1 ©Pierre Marchand, Objectifs : À la fin de cette unité, -vous saurez comment passer dune base à lautre -vous saurez comment sont représentés dans l'ordinateur les nom- bres fractionnaires et les nombres exprimés en virgule flottante. -vous saurez comment l'ordinateur effectue des calculs sur des nombres utilisant ces représentations. Pour y arriver, vous devez maîtriser les objectifs suivants : -passer d'une base à une autre par différentes méthodes : évaluation à la main, à l'aide de tables, ou à l'aide d'une calculette; Unité 3: Représentation interne des informations

2 ©Pierre Marchand, Objectifs : -passer d'une chaîne de caractères entrée au clavier pour représenter un nombre entier, et la convertir dans le format binaire que comprend l'ordinateur, en passant par la représentation intermédiaire BCD. -convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal dans sa représentation binaire et vice-versa; -convertir un nombre réel dans sa représentation en virgule flottante; - effectuer les quatre opérations arithmétiques sur des nombres en virgule flottante Unité 3: Représentation interne des informations

3 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Le BCD Le BCD est un code dans lequel chaque chiffre dun nombre décimal est codé en binaire sur 4 bits. Ces chiffres peuvent être représenté sur un octet individuel, cest le BCD non compacté. Exemple : Comme chaque chiffre nutilise que 4 bits, on peut les grouper 2 par octet. Cest le BCD compacté. Exemple : Unité 3: Représentation interne des informations

4 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Il sagit dévaluer lexpression dans la base destination. Décimal-binaire : = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = Unité 3: Représentation interne des informations

5 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Décimal-binaire : On peut effectuer les multiplications par 10 en remarquant que 10x = 8x + 2x, et en se rappelant quun décalage à gauche de 1 bit est une multiplication par 2. Cest généralement plus rapide que la multiplication binaire. Ainsi, x = = x = = On obtient finalement : = et = Unité 3: Représentation interne des informations

6 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Binaire-décimal : =(1 2 7 ) + (0 2 6 ) + (0 2 5 ) + (0 2 4 ) + (1 2 3 ) + (1 2 2 ) + (1 2 1 ) + (0 2 0 ) = = = Unité 3: Représentation interne des informations

7 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Factorisation de Horner = a n B n + a n-1 B n-1 + … + a 1 B + a 0 = (((((0 + a n )B + a n-1 )B + a n-2 )B …+ a 1 )B + a 0 Unité 3: Représentation interne des informations

8 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Binaire-décimal (algorithme R = b + 2R) R = = = = = = = = = Unité 3: Représentation interne des informations Arithmétique BCD

9 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Décimal-binaire (algorithme R = c + 10R) 142 R = = = = Unité 3: Représentation interne des informations

10 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Dans les techniques précédentes, on effectuait la conversion en utilisant larithmétique de la base destination. Toutefois, on peut vouloir effectuer ces conversions en utilisant larithmétique de la base source. Cest le cas, par exemple, quand lordinateur, qui doit travailler en arithmétique binaire, désire effectuer une conversion binaire-décimal. Pour convertir une nombre N dune base source à une base destination en utilisant larithmétique de la base source, on divise le nombre N par la base destination en utilisant larithmétique de base source, jusquà ce que le quotient soit nul. La représentation de N dans la base destination est alors donnée par la séquence renversée des restes. Unité 3: Représentation interne des informations

11 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Exemples : Convertir en base 4 : Unité 3: Représentation interne des informations 2727 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste 127 =

12 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Exemples : Convertir en base / = , reste / 1010 = 0001, reste / 1010 = 0000, reste = = en BCD compacté ou en BCD non compacté Unité 3: Représentation interne des informations

13 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal dentiers à laide de la table de lappendice 4.1 du supplément La table hexadécimal-décimal est basée sur le principe quun nombre comme 14A6 16 est la somme de A On va donc chercher la valeur décimal correspondante de chacun dans la table et on en fait la somme: = Cette méthode peut être utilisée pour la conversion binaire- décimal par programmation et savère très rapide. Unité 3: Représentation interne des informations

14 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal dentiers à laide de la table de lappendice 4.1 du supplément On pourrait faire une table décimal-hexadécimal pour la conver- sion inverse. On peut également utiliser la même table que plus haut avec quelques calculs supplémentaires. On cherche dans la table la plus grande valeur décimale qui soit inférieure au nombre à convertir. On soustrait ce nombre, et on recommence avec le reste = > = > = >+ A = 0-> =14A6 16 Unité 3: Représentation interne des informations

15 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Conversion à partir lASCII Exemple : Supposons que lutilisateur a tapé 327. On retrouve en mémoire les caractères ASCII 3, 2 et 7 qui ont la représentation : On soustrait (30 16 ou 0) de chacun de ces caractères, ce qui nous donne la représentation en BCD non compacté : On utilisera ces octets pour faire la conversion BCD-binaire. Unité 3: Représentation interne des informations

16 ©Pierre Marchand, Données numériques Entiers positifs ou nuls Changements de base Conversion vers lASCII De la façon inverse, après quon a effectué une conversion binaire décimal, on a une série doctets qui constituent la représentation BCD non compacté du résultat. On na quà ajouter à chacun pour obtenir la représentation ASCII du nombre. Par exemple : = Unité 3: Représentation interne des informations 327

17 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Changements de base N a n B n + a n-1 B n-1 + … + a 1 B 1 + a 0 B 0 + a -1 B -1 + a -2 B -2 + … En binaire, a i = 0 ou 1 et B = 2 N a n 2 n + a n-1 2 n-1 + … + a a 0 + a a … Cette dernière formule peut donc servir de conversion binaire- décimal. Exemple : Unité 3: Représentation interne des informations

18 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Changements de base 0, Réponse : 0, Pour passer du décimal à une autre base, il suffit de multiplier par la base en question au lieu de 2. Unité 3: Représentation interne des informations

19 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Changements de base Pour un nombre constitué dune partie entière et dune partie fractionnaire, on convertit les deux parties séparément, la partie entière avec lune des méthodes de conversion des entiers, la partie fractionnaire avec les méthodes présentées dans la présente section. Exemple: convertir 123,21 4 en décimal = = ,21 4 = = 2 x 0, ,0625 = 0, Réponse : 27, Unité 3: Représentation interne des informations

20 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Changements de base Convertir 27, en base 4 : 27 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste 1 -> , 5625 x 4 2, 25 x 4 1, 0 x 4 0, 0 Réponse : 123, Unité 3: Représentation interne des informations

21 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Conversion décimal-binaire et binaire décimal à laide de la table de lappendice 4.2 du supplément Même principe que pour les entiers. Unité 3: Représentation interne des informations

22 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule fixe Inconvénients :étendue de représentation limitée 32 bits seulement dans la partie entière 32 bits seulement dans la partie fractionnaire Perte de précision pour les petits nombres Complexité de traitement de la virgule lors dopé- rations telles que la multiplication et la division Unité 3: Représentation interne des informations 32 Partie entièrePartie fractionnaire,

23 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule fixe Exemples : 1,0= , ,0= FFFFFFFF, ,5= , ,5= FFFFFFFF, Plus petit nombre positif : , = 1 / Plus grand nombre positif : 7FFFFFFF,FFFFFFFF = , Plus grand nombre négatif : , = , Plus petit nombre négatif : FFFFFFFF,FFFFFFFF = -1 / Unité 3: Représentation interne des informations

24 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante N = (1) s M B E où :M = mantisse B = base E = exposant s = signe de la mantisse Exemples: = 1, = = - 1, = = 5 16 = 0, Unité 3: Représentation interne des informations

25 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et lexposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 23 bits. On ajoute 127 à E et le total est codé sur 8 bits. s est le signe de la mantisse. N = (-1) s 2 E 1,f Unité 3: Représentation interne des informations 823 E+127fs 32

26 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : = 3E8 16 = = 1, s = 0 car nombre positif E = 9 donc E = 136 = M = 1, donc f =, quon peut écrire 447A0000 IEEE en groupant les bits 4 par 4 et en les codant en hexadécimal. Unité 3: Représentation interne des informations

27 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : Convertir le nombre de simple précision IEEE en décimal. s = 0 donc signe = + E = 128, donc E = 1 M = 1,f = 1,101 N = +1, = 11, = 3,25 10 Unité 3: Représentation interne des informations

28 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemples : +0 = IEEE -0 = IEEE +1 = 3F IEEE -1 = BF IEEE +2 = IEEE -2 = C IEEE + = 7F IEEE - = FF IEEE Unité 3: Représentation interne des informations

29 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de double précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et lexposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 52 bits. On ajoute 1023 à E et le total est codé sur 11 bits. s est le signe de la mantisse. Unité 3: Représentation interne des informations 1152 E+1023fs 64

30 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Étendue de représentation En simple précision, la représentation des nombres normalisés positifs non nuls va de IEEE à 7F7FFFFF IEEE, soit : 1, … x à 1, … x , à 3, En double précision, elle va de IEEE à 7FEFFFFFFFFFFFFF IEEE, soit : 1, à 1, , à 1, Unité 3: Représentation interne des informations

31 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Nombres dénormalisés En simple précision, si lexposant E est -127 (représentation ) et que les bits de la mantisse ne sont pas tous nuls, le nombre représenté est : N = (s) -1 x ,f On peut ainsi, malgré une perte de précision, étendre la représen- tation jusquà , i.e Unité 3: Représentation interne des informations

32 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Les NaN Les représentations commençant par 7F ou FF en simple préci- sion et dont les autres bits ne sont pas tous 0 représentent des NaN (Not a Number). Ces NaN sont utilisés pour signaler des messages derreur. Unité 3: Représentation interne des informations

33 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Sources derreur Erreur darrondi ou de troncature Débordement de capacité Sous-débordement de capacité Division par 0 Opérations invalides :, 0, 0 /, 0 / 0, etc. Unité 3: Représentation interne des informations

34 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Addition et soustraction On doit : 1. Extraire les mantisses et les exposants 2. Ajuster les exposants et les mantisses pour que les deux nombres aient lexposant du plus grand des deux. 3. Effectuer laddition ou la soustraction des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante sil y a lieu 5. Replacer le résultat, mantisse et exposant, dans le format IEEE. Unité 3: Représentation interne des informations

35 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Addition et soustraction Exemple : IEEE + 3F IEEE = = ,100000… , = 1, , = 1, , = 1, = = IEEE Unité 3: Représentation interne des informations

36 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Multiplication et division A = a 2 p et B = b 2 q, alors : A B = ab 2 p+q A / B = (a/b) 2 p-q On doit : 1. Extraire les mantisses, les signes et les exposants 2. Additionner ou soustraire les exposants suivant le cas 2. Effectuer le produit ou le quotient des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante sil y a lieu 5. Ajuster le signe sil y a lieu 6. Replacer le résultat, signe, mantisse et exposant, dans le format IEEE. Unité 3: Représentation interne des informations

37 ©Pierre Marchand, Données numériques Nombres fractionnaires Virgule flottante Multiplication et division Exemple: 40A00000 C0C00000 = … = , ,1 = - 1, ,1 2 2 = - 1, = = C1F00000 IEEE Unité 3: Représentation interne des informations

38 ©Pierre Marchand, Données numériques Décimaux codés en binaire Code BCD = code pondéré comme le binaire naturel Code excédent-3 : chiffre = binaire + 3 Code 2 dans 5 : chiffre décimal codé sur 5 bits dont deux sont 1 Code biquinaire : chiffre décimal codé sur 7 bits, dont 1 dans les deux positions de gauche et 1 dans les 5 positions de droite est 1. Les deux derniers codes permettent la détection derreurs. Unité 3: Représentation interne des informations

39 ©Pierre Marchand, Données numériques Décimaux codés en binaire décimalBCDexcédent-32 dans 5biquinaire Unité 3: Représentation interne des informations

40 ©Pierre Marchand, Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire Nous utilisons l'algorithme de la division par la base destination en arithmétique de base 10, sauf que nous choisissons la base (2 16 ). Exemple : Convertir en binaire 1 e étape / = , reste / = 8, reste / = 0, reste 8 Donc : = 8 x x Unité 3: Représentation interne des informations

41 ©Pierre Marchand, Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 2 e étape Comme = 256 2, on représente ensuite chacun des termes en base / 256 = 97, reste / 256 = 104, reste 0 Donc : = 8 x x x x x Unité 3: Représentation interne des informations

42 ©Pierre Marchand, Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 3 e étape Comme 256 = 16 2, on représente ensuite chacun des termes en base / 16 = 6, reste 1196 / 16 = 12, reste / 16 = 6, reste 80 / 16 = 0, reste 0 Donc = 8 x x x x x x x x x 16 0 Et finalement : = 861C Unité 3: Représentation interne des informations


Télécharger ppt "©Pierre Marchand, 2001 69 Objectifs : À la fin de cette unité, -vous saurez comment passer dune base à lautre -vous saurez comment sont représentés dans."

Présentations similaires


Annonces Google