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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Matrice.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Matrice inverse et applications Matrice inverse et applications

2 Introduction Nous présentons dans ce diaporama quelques applications de linversion de matrices. La première situation relève du domaine de la cryptographie alors que les autres relèvent des domaines présentés au chapitre 2, soit les chaînes de Markov et lanalyse de circuits.

3 Cryptographie On peut associer une valeur numérique à chaque lettre dun message à partir dun tableau de codage comme celui-ci (p. 93). Considérons le message : «Il fait beau» qui donne : Représentons le message dans une matrice 2

4 Cryptographie On peut coder le message, sans perdre dinformation, en multipliant par une matrice inversible. Le produit CN donne alors le message codé : La matrice M = CN est le message codé. Pour le décoder, il faut multiplier par la matrice inverse C –1. En effet, C –1 M = C –1 CN = N. Il reste à traduire le message à laide des données du tableau de codage. 2–1 –31 Considérons la matrice C = –4–239671–5 10–145–13–2–4 2–1 – =

5 Exemple Le message consigné dans la matrice M a été codé à laide du tableau de la page 93 et de la matrice C. Décoder ce message. Pour décoder le message, il faut dabord inverser la matrice C. En utilisant la méthode de ladjointe, on obtient : SSS et M = –53126 C = 220 –121 –201 cof C = 2–14 –22–4 2– –12–2 4– C –1 = 2–22 –12–2 4–46, det C = – = 2 02 La matrice C est inversible, puisque le déterminant est non nul. On peut poursuivre. adj C = Le produit des matrices donne alors : C –1 M = 2–22 –12–2 4– –53126 = S N = À laide du tableau de la page 93, on peut remplacer chaque élément de la matrice par le caractère qui lui est associé. Cela donne le message suivant : FELIC ITATI ONS ! Félicitations !

6 Exercice Le message consigné dans la matrice M a été codé à laide du tableau de la page 93 et de la matrice C. Décoder ce message. Pour décoder le message, il faut dabord inverser la matrice C. En utilisant la méthode de ladjointe, on obtient : SSS et M = 24–36–30–85– – C = 21–3 45–2 132 cof C = 16–107 –117–5 13–86 16–1113 –107–8 7– C –1 = 16–1113 –107–8 7–56, det C = –10) + (– 3) 7 = 1 2 La matrice C est inversible, puisque le déterminant est non nul. On peut poursuivre. adj C = Le produit des matrices donne alors : C –1 M = 16 –11 13 –10 7 –8 7 –5 6 24–36–30–85– – = S N = À laide du tableau de la page 93, on peut remplacer chaque élément de la matrice par le caractère qui lui est associé. Cela donne le message suivant : JECO MPREN DS!! Je comprends !!

7 Chaînes de Markov Recherche du point invariant SSS Considérons la représentation matricielle du système déquations à résoudre pour trouver le point invariant dune chaîne de Markov. Le produit donne une matrice colonne dont les éléments sont ceux de la première colonne de la matrice M –1. Par conséquent, le point invariant est donné par la première colonne de la matrice inverse. M M –1 t1t1 t2t2... tntn = 1 0 M Multiplions les deux membres de léquation par la matrice inverse. I 0...

8 Matrice inverse et point invariant Procédure pour déterminer le point invariant dune chaîne de Markov par inversion matricielle 1.Construire la matrice de transition P. 2.Construire la matrice P – I et sa transposée (P – I) t. 3. Construire la matrice M en remplaçant les éléments de la première ligne de la matrice (P – I) t par des Déterminer la matrice inverse M –1 et interpréter les résultats selon le contexte.

9 Exemple Utiliser linversion des matrices pour déter- miner le point invariant de la chaîne de Markov dont la matrice de transition est : S S S Les matrices sont : 0,40,3 0,50,30,2 0,3 0,4 P = P – I = 0,40,3 0,50,30,2 0,3 0,4 –0,60,3 0,5–0,70,2 0,3 –0, – = (P – I) t = –0,60,50,3 –0,70,3 0,2–0,6 et 111 0,3–0,70,3 0,2–0,6 M = Inversons la matrice M : L 1 L 2 –3 L 1 L 3 –3 L 1 L1L1 10L 2 10L – – –100–3100 0–1–9–3010 S 10L 1 + L2L2 L2L2 10L 3 – L2L –100– –90–27–10100 S 111 0,3–0,70,3 0,2–0, L 1 + L3L3 L2L2 L3L –100– –90–27–10100 S L 1 /90 L 2 /(–10) L 3 /(–90) 1004/108/910/9 0103/10– /101/9–10/9 S M –1 = 4/108/910/9 3/10–10 3/101/9–10/9 S Le point invariant est alors donné par : t1t1 t2t2 t3t3 = M –1 4/108/910/9 3/10–10 3/101/9–10/9 = = 4/10 3/10 La première colonne de la matrice inverse donne donc les coordonnées du point invariant et la solution est (0,4 0,3 0,3). La matrice inverse est donc :

10 Matrice inverse et analyse de circuits Procédure pour faire lanalyse par les mailles dun circuit électrique. 1.Représenter la situation par une équation matricielle. 2.Déterminer la matrice inverse A –1. 3.Résoudre léquation matricielle en multipliant les deux membres par la matrice inverse. 4.Interpréter les résultats selon le contexte (donner tous les courants de branches ainsi que leur sens).

11 Exemple S La représentation matricielle est : 8 – –4 0 6 I1I1 I2I2 I3I3 = Puisque la matrice comporte quelques zéros et quelle est symétrique, il est avantageux dutiliser la méthode de ladjointe. Cela donne : cof A = , det A = (–5) = 298 A –1 = 1 det A adj A = S Pour résoudre, il suffit de multiplier les matrices, ce qui donne : = = 2,89 4,62 4,24 S Faire lanalyse par les mailles du circuit ci-contre. I1I1 I2I2 I3I3 = Doù : I1 I1 = 2,89 A, I2 I2 = 4,62 A, I3 I3 = 4,24 A. De plus : I 2 – I 1 = 1,73 A et I 2 – I 3 = 0,38 A. Le circuit résolu est : S

12 Conclusion La matrice inverse dune matrice A est la matrice qui multipliée avec A donne lidentité. On peut se servir de cette caractéristique pour résoudre une équation matricielle. La matrice inverse est également utile pour décoder de linformation qui a été codée sous forme matricielle. La matrice qui sert à coder doit nécessairement être inversible, sinon il y a perte dinformation au codage et il est ensuite impossible de retrouver le message original.

13 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.4, p. 100 et 103. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.3, p. 93 à 99.


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