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Asymptotes Jacques Paradis Professeur. Département de mathématiques 2 Plan de la rencontre Élément de compétence Définition dasymptote Asymptotes verticales.

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1 Asymptotes Jacques Paradis Professeur

2 Département de mathématiques 2 Plan de la rencontre Élément de compétence Définition dasymptote Asymptotes verticales Asymptotes horizontales Levée d'indéterminations Asymptotes obliques

3 3 Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes verticales de la courbe dune fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes horizontales de la courbe dune fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes obliques de la courbe dune fonction Département de mathématiques

4 4 Définition dasymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points dune courbe tend vers zéro lorsquon séloigne sur la courbe à linfini. Remarque : Une asymptote ne fait pas partie de la courbe représentative dune fonction et cest pourquoi on la représente en pointillé dans le graphique. Département de mathématiques

5 5 Asymptote verticale La droite x = a est une asymptote verticale (AV) de la courbe de f(x) si et seulement si Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction infinie. x = a a+a+ a-a- Département de mathématiques

6 6 Exemple Trouver les asymptotes verticales de AH : y = -1 x = -2 x = 2 Département de mathématiques

7 7 Asymptote horizontale La droite y = b est une asymptote horizontale (AH) de la courbe de f(x) si et seulement si Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des limites à linfini. y = b - Département de mathématiques

8 8 Exemple 1 Trouver lasymptote horizontale de y = 1 Département de mathématiques

9 9 Exemple 2 Trouver les asymptotes horizontales de AV : x = -2 et x = 2 y = 2 Département de mathématiques

10 10 Levée de lindétermination Mette en évidence la plus grande puissance de x au numérateur et/ou au dénominateur Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Département de mathématiques

11 y = 2x La droite y = a x + b est une asymptote oblique (AO) de la courbe de f ( x ) si et seulement si où Exemple : Trouver lasymptote oblique de la fonction Asymptote oblique Département de mathématiques

12 Asymptote oblique (Cas particulier) Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux polynômes On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est dun degré supérieur à celui du dénominateur. Pour trouver lAO, on effectue la division des deux polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où Exemple : Soit où y = 2x + 1 est une asymptote oblique. Exercice : Trouver lAO de 12 Département de mathématiques

13 Asymptote oblique (Exemple) Déterminer, sil y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de Remarque : Lorsque, sil y a une asymptote horizontale, il ny a pas dasymptote oblique et vice et versa. 13 Département de mathématiques

14 Déterminer, sil y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de 14 Exemple récapitulatif Département de mathématiques

15 15 Devoir Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b, 7c, 7d, 8, 9, 10. Exercices récapitulatifs, page 284, #12a ( sauf vi ), 12b, 13 (sauf e), 14 ( sauf k et l ), 15a, 15b, 15e et 15j. 12a) 1, -,1,,- 12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x b) nexiste pas, 13d) 0, 13f) 14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V, F, F Département de mathématiques


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