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Fabienne BUSSAC. 1. DIVISEURS : RAPPELS DIVISEURS : RAPPELS 2. PGCD DE DEUX NOMBRES PGCD DE DEUX NOMBRES 3.CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVESCALCUL.

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1 Fabienne BUSSAC

2 1. DIVISEURS : RAPPELS DIVISEURS : RAPPELS 2. PGCD DE DEUX NOMBRES PGCD DE DEUX NOMBRES 3.CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVESCALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES 4.CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME DEUCLIDECALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME DEUCLIDE Cliquer sur le titre de paragraphe pour un accès direct…

3 Fabienne BUSSAC 1. DIVISEURS : RAPPELS Soit a et d deux nombres entiers positifs (d 0). le reste de la division euclidienne de a par d est zéro, alors on dit que : le quotient a d est un nombre entier, il existe un entier n tel que a = d × n d est un diviseur de a. a est divisible par d. a est un multiple de d. Si

4 Fabienne BUSSAC Exemple : 42 7 = 6ou 42 = 7 × 6 On peut donc dire que 7 est un diviseur de est divisible par est un multiple de 7. 4 nest pas un diviseur de 26 car le quotient nest pas un entier.

5 Fabienne BUSSAC Tout nombre entier, supérieur ou égal à 2, admet au moins deux diviseurs : Propriété : Définition : Exemples : 2,3,5,7,11,13,17,19…sont des nombres premiers. 9 nest pas un nombre premier : il a trois diviseurs 1 ; 3 et 9. 1 nest pas un nombre premier : il a un seul diviseur 1. 1 et lui-même. Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) sappelle un nombre premier.

6 Fabienne BUSSAC 2. PGCD DE DEUX NOMBRES Si deux entiers positifs a et b sont divisibles par un même entier d, alors on dit que d est un diviseur commun de a et b. Exemple : 15 = 5 × 3 et 40 = 5 8, donc 5 est un diviseur commun de 15 et 40. est un diviseur commun à tous les nombres. Remarque : 1

7 Fabienne BUSSAC a et b sont deux nombres entiers positifs. Parmi leurs diviseurs communs, lun dentre eux est plus grand que les autres. On appelle P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) le plus grand des diviseurs communs de a et b. On le note PGCD (a ; b).

8 Fabienne BUSSAC Exemple : La liste des diviseurs de 24 est : ;;;;;;; La liste des diviseurs de 36 est : ;;;;;;;; 6 Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1; 2; 3; 4; 6et 12. Le plus grand dentre eux est 12, cest le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD (24 ; 36) = = 1 × = 2 × = 3 × 8 24 = 4 × 6 24 = 5 ×… 36 = 1 × = 2 × = 3 × = 4 × 9 36 = 5 ×… 36 = 6 × 6

9 Fabienne BUSSAC Déterminer le PGCD de 413 et – =118 –= –=59 PGCD (413 ; 295) = PGCD (295 ; 118) PGCD (295 ; 118) = PGCD (177 ; 118) PGCD (177 ; 118) = PGCD (118 ; 59) PGCD (413 ; 295) = 59 3.CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES –=59 PGCD (118 ; 59) = PGCD (59 ; 59) On prend les deux nombres et on les soustrait. On prend les deux plus petits et on recommence. On sarrête lorsque lon obtient deux nombres égaux.

10 Fabienne BUSSAC Calculer le PGCD de 494 et CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME DEUCLIDE On effectue la division euclidienne de 494 par 143 : On peut écrire : dividende = quotient × diviseur + reste, soit : 494 = 3 × On recommence le même travail avec le diviseur 143 et le reste de la division 65 : = 2 × On recommence le même travail avec le diviseur 65 et le reste de la division 13 : = 5 × Le PGCD cherché est le dernier reste différent de 0. Ici, PGCD(494 ; 143) = 13

11 Fabienne BUSSAC Exemple : calculer le PGCD de 108 et 846 avec lalgorithme dEuclide 846 =108× =× = 18 ×+50 Le dernier reste différent de 0 est 18 donc : PGCD(108 ; 846) = 18


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