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Distance dun point à un plan. Par Amandine Mousset.

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1 Distance dun point à un plan. Par Amandine Mousset.

2 Lespace étant muni dun repère orthonormé, considérons… Le plan = ax+by+cz+d = 0 Le point P x y z = ax+by+cz+d = 0 P

3 Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,, et, la distance du point P au plan. x y z = ax+by+cz+d = 0 P Ecrivons des équations paramétriques de la droite p, comprenant P et perpendiculaire à en utilisant un triple de paramètres directeurs principaux de.

4 Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,, et, la distance du point p au plan. x y z = ax+by+cz+d = 0 P Un triple de paramètres directeurs de p est donc (a,b,c). Un triple de paramètres directeurs principaux de p est donc bca a 2 +b 2 +c 2,, ()

5 Des équations paramétriques de la droite p sont: Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,, et, la distance du point p au plan. x y z = ax+by+cz+d = 0 P p = z = + k c a 2 +b+c 2 x = + k a a 2 +b 2 +c 2 y = + k b a 2 +b 2 +c 2

6 Calculons la valeur que prend k au point D commun à et à p. Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie léquation de. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,, et, la distance du point p au plan. x y z P = ax+by+cz+d = 0 D

7 Calculons la valeur que prend k au point D commun à et à p. Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie léquation de. a ( + k a a 2 +b 2 +c 2 ) b ( + k b a 2 +b 2 +c 2 ) c ( + k c a 2 +b 2 +c 2 ) +++d = o a + b + c + d + k a 2 +b 2 +c 2 = o Doù: k = - a + b + c + d a 2 +b 2 +c 2

8 a + b + c + d a 2 +b 2 +c 2 Finalement, la distance du point P au plan est… PD = l k l = x y z P = ax+by+cz+d = 0 D


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