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Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique (cas fonctionnel) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, – Filtres.

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1 Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique (cas fonctionnel) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, – Filtres alternés séquentiels, – Ligne de partage des eaux. Classification (approches globales) : – Modèles markoviens, – Estimation de paramètres. Estimation de mouvement : – Cas dun mouvement rigide, – Flot optique.

2 Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E, ) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure Exemples de treillis: ensemblistedes fonctions élémentsparties de S f: SR, ou f: SZ relation dordreinclusion f g x, f(x) g(x) borne supérieureunion {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} borne inférieureintersection {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} involutioncomplémentaire -f(x) (ou N-f(x) si f: S[0,N]) plus grand des minorants plus petit des majorants : réflexive ( x E, x x ), antisymétrique ( ( x, y ) E 2, x y et y x x = y ), transitive ( ( x, y, z ) E 3, x y et y z x z ) opération qui est son propre inverse

3 Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux –Compatibilité avec les translations –Compatibilité avec les homothéties –Localité propriétés –Croissance –Extensivité / anti-extensivité –Idempotence –Dualité Indépendance par rapport à lorigine de lespace: t, ( f + t )= ( f )+ t Indépendance par rapport au paramètre déchelle:, ( f )= ( f ) E borné, E borné / ( f ) E= ( f E) E f, g f g ( f ) ( g ) Extensivité: f, f ( f ) ( (.))= (.) et duales :

4 Dilatation / érosion de fonctions Cas général Exemples : g ([-2,-1,0,1,2])=[90,40,0,40,90] g ([-2,-1,0,1,2])=[-40,-20,0,30,60]

5 Dilatation / érosion de fonctions Cas particulier g(x)=0 x R n D Exemple : Lien avec la MM binaire : rq : cas général : à partir des sous-graphes de f et de g Test d non y support de g en x / f ( y )=1 sup support g en x { f }=1 Test d y support de g en x / f ( y )=0 inf support g en x { f }=1 -SG(f)={(x,y), yf(x)} complémentaire

6 Dilatation / érosion numériques : propriétés Identiques au cas binaire en remplaçant par, par, et par. Croissance par rapport à f (Anti-)Extensivité si 0 support de g (Dé)Croissance / à g Adjonction Commutations

7 Dilatation / érosion de fct : exemples X B Y B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X))

8 X Boule 5 5, = = 0.5 Boule 7 7, = = 0.45 Boule 3 3, = = 0.5 Rehaussement de contraste Y = = 0.35 = = 0.45

9 Gradient et laplacien morphologiques Opérateurs différence dopérateurs –Gradient intérieur, grad. extérieur –Gradient morphologique –Laplacien morphologique Convergence vers gradient et laplacien euclidiens si élément structurant = boule eucl. centrée et rayon 0 g B1 ( X ) B1 ( X ) B1 X g B2 ( X ) B2 ( X ) B2

10 Ouverture / fermeture numériques Cas dun élément structurant plan Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : Fermeture comble vallées Ouverture écrête pics

11 Top hat / Top hat conjugué Opérateurs par différence : –Top hat x - S ( x ) –Top hat conjugué S ( x )- x

12 Filtres alternés séquentiels : définition Filtre morphologique Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques ( ) 0 une granulométrie et ( ) 0 lanti- granulométrie associée Filtres alternés :

13 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

14 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

15 Filtres alternés séquentiels : exemples Bruit gaussien =20 + bruit impuls 10% Bruit impulsion 15% Bruit gaussien =60Bruit gaussien =20 1,2,3

16 Dilatation / Erosion géodésiques numériques Dilatation : le sous-graphe de f, ( g ) est formé des points du sous-graphe de f reliés au sous-graphe de g par un chemin (i) non descendant, et (ii) de longueur. B unitaire f ( g )=inf( g +B, f ) et f, n ( g ) = f … f ( g ) Erosion : par dualité f ( g )=N- f (N- g ) Dilatation géodésique de g / f Erosion géodésique de f / g

17 Reconstruction géodésique numérique rec ( f ; g ) = sup. des dilatations géodésiques de g dans f Swamping la plus grande fonction f possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g dans f Reconstruction par marqueurs (swamping)

18 Application de rec ( f ; g ) Opérateur sharpness Variante de lopérateur top-hat (a) Field n°7: WorldView1 data (b) F g (d) F b / p F =0.1 (e) F b / p F =0.5(c) F b / p F =0.25 (a) (b) (c) Field n°105 (a) (b) (c) Field n°117

19 Ligne de partage des eaux : définition Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude 00210520 00457160 96353043 86441021 97522421 01302654 03314678 01223499 00210520 00457160 96353043 86432021 97522421 01302654 03114678 01223499 Cas facileCas difficile 00210520 00457160 96353043 86441021 97522421 01302654 03314678 01223499

20 Ligne de partage des eaux : définition Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion à partir des minima régionaux m i, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de leau atteint laltitude dun minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une digue. LPE = ensemble des digues.

21 LPE par immersion : algorithme Algorithme : –On note B(i) limage binaire des valeurs y s (de Y) i –Initialisation : W -1 = –Pour i variant de 0 à i max {m i } = {x : x B(i), x CC{m i-1 }} = W(i) = IZ B(i) (W(i-1)) {m i } – LPE = Les m j sont les nouveaux minima apparus à litération i Zones dinfluence géodésiques des bassins versants obtenus à lit. précédente dans limage bin. courante des valeurs i

22 LPE par immersion : algorithme (suite) Calcul de IZ géodésique : IZ X (Y) –Initialiser IZ X (Y) à Y –Initialiser la liste L à X-Y –Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : –calculer sil peut se rattacher à IZ X (Y) par épaississement –si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZ X (Y) et le retirer de L Rappel : Ex. délément structurant pour lamincissement Lskel Ebardage

23 LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra) Image initiale : 4 niveaux de gris 1.minima pour i=0, B(0)=W(0) ; 2. B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1 zones dinfluence géodésiques de W(0) dans B(1) 1. W(1) 2. B(2)-W(1) W(2) : zones dinfluence géod. de W(1) dans B(2) Ligne de partage des eaux superposée à limage initiale

24 LPE : Application à la segmentation dune image en niveaux de gris Utiliser limage de la norme du gradients Risque de sur-segmentation discrétiser les valeurs entre 0 et imax ( #régions) filtrer PB limage du gradient (e.g. fermeture)

25 Ligne de partage des eaux Exemple : Fermeture sur gradient morphologique Ouverture sur gradient morphologique Gradient morphologique, boule 3 3 8-connexit é #R = 25#R = 15

26 Ligne de partage des eaux Exemple : Gradient morphologique, boule 3 3 8-connexit é Fermeture sur gradient morphologique Reconstruction géodés. du gradient à partir du gradient abaissé de 90 #R = 18 #R = 10

27 LPEs correspondante LPE : exemple Image égalisée filtrée FAS 3 3 8- connexité Fermeture Swamping par seuillage sur gradient Gradient Morphologique

28 Image du gradient après fermeture LPE correspondante LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image du gradient après reconstruction par swamping LPE correspondante

29 LPE : Application à la segmentation Cas d1 image en niveaux de gris : utiliser limage des gradients mais risque de sur-segmentation utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Autres cas d1 image en niveaux de gris : utiliser image top-hat / top-hat conjugué Cas dobjets binaires circulaires : utiliser image des distances inverses mais risque de sur-segmentation utiliser la reconstruction de limage des distances diminuée dune faible valeur sous limage des distances (rq: SKIZ positionne mal les frontières pour objets de tailles différentes)

30 LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image binaire initiale Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image des distances inversée LPE sur image reconstruite de la distance -2 sous la distance

31 Application LPE : détection des mottes Image des altitudes en fausses couleurs Image de la fonctionnelle à maximiser Image quantifiée LPEÉtiquettage en comp. connexes de la seg. LPE Sélection des mottes

32 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.


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