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Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique (cas fonctionnel) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, – Filtres.

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1 Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique (cas fonctionnel) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, – Filtres alternés séquentiels, – Ligne de partage des eaux. Classification (approches globales) : – Modèles markoviens, – Estimation de paramètres. Estimation de mouvement : – Cas dun mouvement rigide, – Flot optique.

2 Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E, ) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure Exemples de treillis: ensemblistedes fonctions élémentsparties de S f: SR, ou f: SZ relation dordreinclusion f g x, f(x) g(x) borne supérieureunion {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} borne inférieureintersection {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} involutioncomplémentaire -f(x) (ou N-f(x) si f: S[0,N]) plus grand des minorants plus petit des majorants : réflexive ( x E, x x ), antisymétrique ( ( x, y ) E 2, x y et y x x = y ), transitive ( ( x, y, z ) E 3, x y et y z x z ) opération qui est son propre inverse

3 Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux –Compatibilité avec les translations –Compatibilité avec les homothéties –Localité propriétés –Croissance –Extensivité / anti-extensivité –Idempotence –Dualité Indépendance par rapport à lorigine de lespace: t, ( f + t )= ( f )+ t Indépendance par rapport au paramètre déchelle:, ( f )= ( f ) E borné, E borné / ( f ) E= ( f E) E f, g f g ( f ) ( g ) Extensivité: f, f ( f ) ( (.))= (.) et duales :

4 Dilatation / érosion de fonctions Cas général Exemples : g ([-2,-1,0,1,2])=[90,40,0,40,90] g ([-2,-1,0,1,2])=[-40,-20,0,30,60]

5 Dilatation / érosion de fonctions Cas particulier g(x)=0 x R n D Exemple : Lien avec la MM binaire : rq : cas général : à partir des sous-graphes de f et de g Test d non y support de g en x / f ( y )=1 sup support g en x { f }=1 Test d y support de g en x / f ( y )=0 inf support g en x { f }=1 -SG(f)={(x,y), yf(x)} complémentaire

6 Dilatation / érosion numériques : propriétés Identiques au cas binaire en remplaçant par, par, et par. Croissance par rapport à f (Anti-)Extensivité si 0 support de g (Dé)Croissance / à g Adjonction Commutations

7 Dilatation / érosion de fct : exemples X B Y B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X))

8 X Boule 5 5, = = 0.5 Boule 7 7, = = 0.45 Boule 3 3, = = 0.5 Rehaussement de contraste Y = = 0.35 = = 0.45

9 Gradient et laplacien morphologiques Opérateurs différence dopérateurs –Gradient intérieur, grad. extérieur –Gradient morphologique –Laplacien morphologique Convergence vers gradient et laplacien euclidiens si élément structurant = boule eucl. centrée et rayon 0 g B1 ( X ) B1 ( X ) B1 X g B2 ( X ) B2 ( X ) B2

10 Ouverture / fermeture numériques Cas dun élément structurant plan Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : Fermeture comble vallées Ouverture écrête pics

11 Top hat / Top hat conjugué Opérateurs par différence : –Top hat x - S ( x ) –Top hat conjugué S ( x )- x

12 Filtres alternés séquentiels : définition Filtre morphologique Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques ( ) 0 une granulométrie et ( ) 0 lanti- granulométrie associée Filtres alternés :

13 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

14 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

15 Filtres alternés séquentiels : exemples Bruit gaussien =20 + bruit impuls 10% Bruit impulsion 15% Bruit gaussien =60Bruit gaussien =20 1,2,3

16 Dilatation / Erosion géodésiques numériques Dilatation : le sous-graphe de f, ( g ) est formé des points du sous-graphe de f reliés au sous-graphe de g par un chemin (i) non descendant, et (ii) de longueur. B unitaire f ( g )=inf( g +B, f ) et f, n ( g ) = f … f ( g ) Erosion : par dualité f ( g )=N- f (N- g ) Dilatation géodésique de g / f Erosion géodésique de f / g

17 Reconstruction géodésique numérique rec ( f ; g ) = sup. des dilatations géodésiques de g dans f Swamping la plus grande fonction f possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g dans f Reconstruction par marqueurs (swamping)

18 Application de rec ( f ; g ) Opérateur sharpness Variante de lopérateur top-hat (a) Field n°7: WorldView1 data (b) F g (d) F b / p F =0.1 (e) F b / p F =0.5(c) F b / p F =0.25 (a) (b) (c) Field n°105 (a) (b) (c) Field n°117

19 Ligne de partage des eaux : définition Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude Cas facileCas difficile

20 Ligne de partage des eaux : définition Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion à partir des minima régionaux m i, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de leau atteint laltitude dun minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une digue. LPE = ensemble des digues.

21 LPE par immersion : algorithme Algorithme : –On note B(i) limage binaire des valeurs y s (de Y) i –Initialisation : W -1 = –Pour i variant de 0 à i max {m i } = {x : x B(i), x CC{m i-1 }} = W(i) = IZ B(i) (W(i-1)) {m i } – LPE = Les m j sont les nouveaux minima apparus à litération i Zones dinfluence géodésiques des bassins versants obtenus à lit. précédente dans limage bin. courante des valeurs i

22 LPE par immersion : algorithme (suite) Calcul de IZ géodésique : IZ X (Y) –Initialiser IZ X (Y) à Y –Initialiser la liste L à X-Y –Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : –calculer sil peut se rattacher à IZ X (Y) par épaississement –si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZ X (Y) et le retirer de L Rappel : Ex. délément structurant pour lamincissement Lskel Ebardage

23 LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra) Image initiale : 4 niveaux de gris 1.minima pour i=0, B(0)=W(0) ; 2. B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1 zones dinfluence géodésiques de W(0) dans B(1) 1. W(1) 2. B(2)-W(1) W(2) : zones dinfluence géod. de W(1) dans B(2) Ligne de partage des eaux superposée à limage initiale

24 LPE : Application à la segmentation dune image en niveaux de gris Utiliser limage de la norme du gradients Risque de sur-segmentation discrétiser les valeurs entre 0 et imax ( #régions) filtrer PB limage du gradient (e.g. fermeture)

25 Ligne de partage des eaux Exemple : Fermeture sur gradient morphologique Ouverture sur gradient morphologique Gradient morphologique, boule connexit é #R = 25#R = 15

26 Ligne de partage des eaux Exemple : Gradient morphologique, boule connexit é Fermeture sur gradient morphologique Reconstruction géodés. du gradient à partir du gradient abaissé de 90 #R = 18 #R = 10

27 LPEs correspondante LPE : exemple Image égalisée filtrée FAS connexité Fermeture Swamping par seuillage sur gradient Gradient Morphologique

28 Image du gradient après fermeture LPE correspondante LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image du gradient après reconstruction par swamping LPE correspondante

29 LPE : Application à la segmentation Cas d1 image en niveaux de gris : utiliser limage des gradients mais risque de sur-segmentation utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Autres cas d1 image en niveaux de gris : utiliser image top-hat / top-hat conjugué Cas dobjets binaires circulaires : utiliser image des distances inverses mais risque de sur-segmentation utiliser la reconstruction de limage des distances diminuée dune faible valeur sous limage des distances (rq: SKIZ positionne mal les frontières pour objets de tailles différentes)

30 LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image binaire initiale Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image des distances inversée LPE sur image reconstruite de la distance -2 sous la distance

31 Application LPE : détection des mottes Image des altitudes en fausses couleurs Image de la fonctionnelle à maximiser Image quantifiée LPEÉtiquettage en comp. connexes de la seg. LPE Sélection des mottes

32 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.


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