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Sommaire Notations et symboles Définitions Le modèle newtonien Fluides simples incompressibles.

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2 Sommaire Notations et symboles Définitions Le modèle newtonien Fluides simples incompressibles

3 Notations et symboles

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5 Lhypothèse du fluide au du solide parfait nest quune simplification du processus de transformation dun milieu. En effet : un réseau cristallin possède une configuration de référence privilégiée, et développe des efforts notables de résistance à la déformation, cest un solide. à lopposé, lair ambiant ne possède pas de configuration privilégiée ni de résistance à la déformation, cest un fluide. Mais cette notion dordre est manifestement insuffisante. C est pourquoi, nous prendrons le parti de faire la distinction entre solide et fluide au stade des applications 1. Définitions Fluides

6 Fluides newtoniens et non-newtoniens a) Les fluides newtoniens Les fluides visqueux classiques ont une loi de comportement dite newtonienne. Nous signifions ainsi que ce sont des milieux continus homogènes où les efforts intérieurs sont représentés par un tenseur des contraintes qui sexprime par une fonction linéaire et isotrope du tenseur des taux de déformation. Leur incompressibilité, pour les liquides, ou la relation de Stokes, pour les gaz, permettent même de conserver un seul coefficient : la viscosité μ, dans la loi de comportement. Le modèle newtonien sapplique en fait à un grand nombre de corps de la nature, et notamment aux plus répandus : eau, huile, air.

7 b) les fluides non-newtoniens Un milieu continu est non-newtonien dès lors quune expérience vient contredire les prévisions établies à laide du modèle newtonien. En général nous savons plus ou moins donner une explication physique du comportement non-newtonien. Ce fluide dépend alors de deux variables : et S (valeur maximale de cisaillement simple).

8 2. Le modèle newtonien 2.1 Hypothèses sur la description classique des milieux continus Après avoir défini un observateur, la cinématique des fluides suppose quil suffit de considérer les variations spatiales de la vitesse pour prendre en compte toute linformation nécessaire. Plusieurs facteurs sont utilisés : Le tenseur symétrique des taux de déformation D = 1/2 (L + L T ) Les densités vectorielles volumique et surfacique defforts, ainsi que les densités scalaires volumique r et surfacique q de quantité de chaleur reçue par unité de temps. Enfin le milieu possède une énergie interne massique e, une température absolue positive, une entropie massique s définie à une constante près.

9 2.2 Lois fondamentales Les lois qui suivent sont dorigine physique. Leur application se fait quelque soit le corps considéré. Enfin, elles expriment toute la conservation dune grandeur et permettent décrire : Conservation de la masse avec masse volumique vitesse du fluide Loi fondamentale de la mécanique avec densité vectorielle volumique defforts tenseur des contraintes

10 Premier principe de la thermodynamique (conservation ) avec e énergie interne massique D tenseur taux de déformation vecteur flux de chaleur Second principe de la thermodynamique (inégalité réduite à la dissipation) avec f = e - s énergie libre température absolue s entropie

11 Dans le modèle newtonien nous faisons apparaître : 7 variables :,,,,,f,s 2 données :, r Lensemble est relié par trois principes de conservation. Les lois qui permettent dobtenir des paramètres en fonction des autres sont appelées lois de comportement. Elles précisent le comportement physique du milieu considéré.

12 2.3 Hypothèses simplificatrices Dans de nombreux cas particuliers réels les matériaux utilisés ont des propriétés remarquables qui simplifient lécriture de leur comportement. Homogénéité Un milieu est homogène si les lois de comportement ne dépendent pas du point considéré. Isotropie Un matériau est dit isotrope si les de comportement ne dépendent pas de la direction (dans lespace) choisie.

13 2.4 Fluides newtoniens Ce sont les fluides qui vérifient les principes et les propriétés précédentes. Un fluide est dit newtonien lorsquil présente des lois de comportement linéaire par rapport au taux de déformation et au gradient de la température. Les fluides newtoniens sont homogènes, isotropes, à mémoire mécanique infiniment courte, et à mémoire thermique nulle.

14 2.5. Lois empiriques de fluides non-newtoniens à viscosité variable - La loi de puissance :

15 - Loi de Powell-Eyring

16 2.6 Aspect dimensionnel Grandeurs caractéristiques des propriétés mécaniques du matériau qui interviennent dans la relation - la viscosité ; - le temps t0 ; - une liste de paramètres sans dimension ßi ; - la forme des fonctions K1 et K2.

17 Paramètres de similitude pour des fluides newtoniens suivant les même lois physiques - les nombres sans dimension - les paramètres sans dimension des conditions limites et initiales Paramètres de similitude pour des fluides non-newtoniens suivant les même lois physiques et ayant des fonctions K1 et K2 de la même formes - les même propriétés que pour les fluides newtoniens - un paramètre adimensionnel de temps - la liste des i.

18 Définition du corps et de son mouvement: un ensemble doté dune structure mathématique dalgèbre de Boole Configuration de référence et déformation du corps par rapport à une configuration Différentes descriptions dun mouvement Gradient de la déformation définition du gradient spatial du champ vectoriel χK. Théorème de décomposition polaire de Cauchy le gradient de la déformation est décomposé en un tenseur rotation pure et en les tenseurs déformation pure. 1. Définitions 1 Cinématique appropriée

19 2 Lois de comportement Application des principes de formulation à la nouvelle description le tenseur des contraintes dans un corps est déterminé par lhistoire de son mouvement Pour les corps matériellement simples Homogénéité et isotropie : fluides matériellement simples le corps est homogène, et donc que la fonctionnelle est la même pour toutes les particules.

20 3 Formes particulières de lois de comportement Les Fluides du type différentiel ou de Rivlin-Ericksen, Fluides du type taux, Fluides du type intégral.

21 4 Écoulement dun fluide simple à histoire de la déformation pure constante Définition => les valeurs propres de W ne dépendent pas du temps t dans ces conditions : on dit que lécoulement est à histoire de la déformation pure constante Relations cinématiques

22 5 Écoulements viscosimétriques Définition => Ces écoulements peuvent être présentés dune façon plus générale incluant des écoulements non stationnaires


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