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Techniques doptimisation Projet : Etude dune sinusoïde.

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1 Techniques doptimisation Projet : Etude dune sinusoïde

2 Contexte A partir de lacquisition dun signal électrique on souhaite retrouver, par la technique des moindres carrés, les caractéristiques de la sinusoïde correspondante : V(n) = A*sin(2πf in nT s + ) + C Avec : A = amplitude C = offset f in = fréquence dentré = phase

3 Objectif On fait une acquisition du signal pour des fréquences Fin connues. On cherche ainsi les paramètres C, A et du signal : e n = C + A*sin(ω n + ) On linéarise suivant e n = C + A*cos( sin(ω n ) +A*sin( )cos(ω n )

4 Méthode des moindres carrés linéaires Il nous faut résoudre le système : E(a 0,a s,a c )= Σ (y i -a i *f i )² avec a 0 = C a s = Acos( a c = Asin(

5 Résolution On obtient le système suivant : = du type AX=B, que lon résout à laide Matlab avec les valeurs de yi=data et w fournies.

6 Résultats A = e+03 C = e n = C + A*sin(ω n + )

7 Signal derreur et variance Variance =

8 Variation de la fréquence On décide désormais de faire varier la fréquence dentrée du signal dans un domaine de 0,02% et constater limpact sur les paramètres calculés précédemment. On applique le même algorithme Matlab, et on stocke A, C et pour chaque fréquence.

9 Tracé des paramètres

10 Application à acq2 A = 1820 C = -9.3 e n = C + A*sin(ω n + )

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13 Méthode des moindres carrés non linéaires (partie 3) On cherche a modéliser le comportement du signal : e n = C + A*sin(ω n + ) or, ici ω n nest pas connu. Il nous faut maintenant résoudre le système suivant : E(C,A, ω, )= Σ(C + A*sin(ω*n + )-data)²

14 Système étudié On cherche à minimiser lerreur. On obtient 4 équations: - f 1 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + )-data) = 0 - f 2 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + )-data)*sin(ω*n + ) = 0 - f 3 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + ) -data)*A*n*cos(ω*n + ) = 0 - f 4 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + )-data)*A*cos(ω*n + ) = 0

15 Résolution (1) On utilise la méthode itérative de Newton X k = X k-1 + [J(X k-1 )] -1 *F(X k-1 ) J la matrice Jacobienne: J =

16 Résolution (2) Cette méthode étant itérative, on se sert des résultats de la partie 2 pour létape dinitialisation. On nomme : Y = [J(X k-1 )] -1 *F(X k-1 ) Puis X k = X k-1 + Y On itère cette opération jusquà la précision entre le signal obtenue et le signal calculé soit inférieur a 0,001

17 Signal et erreur quadratique C=-6,8 A=15747 W=0,766

18 Variation de la fréquence De manière similaire à la partie 2, on souhaite stocker les résultats précédents pour des fréquences qui varient. Cela nous permet certaines caractéristiques du signal.

19 Résultats

20 Application à Acq2 :

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