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1 Klein. 2 CONQUÊTE ALGÉBRIQUE DES IDÉAUX Le mode dobjectivation des éléments «à linfini» na pas déquivalent en «géométrie analytique» «[Projective] geometry.

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1 1 Klein

2 2 CONQUÊTE ALGÉBRIQUE DES IDÉAUX Le mode dobjectivation des éléments «à linfini» na pas déquivalent en «géométrie analytique» «[Projective] geometry is a part of descriptive geometry, and projective geometry is all geometry» Arthur Cayley. La géométrie cartésienne se devait d'apprivoiser ce domaine d'idéalité. Comment pouvait-elle s'y prendre? «The last vestiges of dependence on ordinary geometry were removed in 1871, when Felix Klein provided an algebraic foundation for projective geometry in terms of "homogeneous coordinates » Coxeter.-

3 3 Une alliée: le modèle héliocentrique Lassaut vers linfini. (x, y, z) (x', y', z')

4 4 Classe des points = = (Z 3 3 / )* (x, y, z) (x', y', z') Classe des lignes. (x, y, z) (x', y', z')

5 5 L'incidence. Pythagore donne, pour un représentant (x 1, x 2, x 3 ) du rayon x et un représentant (X 1, X 2, X 3 ) de la normale X : (x x x 3 2 )+ (X X X 3 2 ) = (X 1 - x 1 ) 2 + (X 2 - x 2 ) 2 + (X 3 -x 3 ) 2 c'est-à-dire x 1 X 1 + x 2 X 2 + x 3 X 3 = 0 ou en terme de produit scalaire x X = 0. Droite par 2 points le produit vectoriel a b.

6 6 Diffusion des «coordonnées» Conquête algébrique des idéaux

7 7 Brainstorming Translation: x x+k Dilatation: x kx Transformation linéaire f : x M x (M: matrice de rang 3) Chercher la matrice de la courbe de Peano….

8 8 Monge

9 9 Le coup de la transposition formelle! La géométrie projective cartésienne est définie sur = = (Z 3 3 / )* par la relation d'incidence x X = 0 On opère la substitution Z 3 = { 0, 1, 2 } K={ 0, 1, 2, i, 1+i, 2+i, 2i, 1+2i, 2+2i } On est propulsé dans un nouvel univers: = = (K 3 / )* « To Steiner, imaginary quantities in geometry were ghosts, which made their effect felt in some way from a higher world without our being able to gain a clear notion of their existence ». F. Klein Vengeance des cartésiens … !

10 10 Le réflexe de la représentation Le «plan» de Gauss est abaissé au rôle daxe Représentation incomplète! Il faudrait imaginer une "bordure extra territoriale» pour représenter les 10 points à linfini.

11 11 Sous géométrie réelle

12 12 Comment les droites anciennes se prolongent- elles dans le domaine imaginaire?

13 13 Formes imprévisibles

14 14 Les droites "imaginaires" ne percent la sous géométrie réelle qu'en un seul point

15 15 La minorisation des anciens! Les éléments euclidiens sont 13 réels moyés dans une mer de 91 éléments dont 78 « imaginaires». Une droite porte désormais 10 points Un point porte 10 droites Une droite imaginaire porte 9 points imaginaires mais ne concède de place quà un seul réel Un point imaginaire porte 9 droites imaginaires et une seule réelle. Une droite réelle est envahie par 6 imaginaires. Un point réel est traversé par 6 droites imaginaires. Etc etc.

16 16 Les géométries dordre 2 et 3 avaient pu être représentées par des polyèdres (tétraèdre et cube). Peut-on imaginer une représentation polyédrique pour la géométrie de Monge? Les précédentes comportaient 7 et 13 points respectivement. La géométrie de Monge en a 91 Cest-à-dire 7 13 = 91 ! Nostalgie des représentations polyédriques

17 17 Modèle polyédrique Voici une espèce de «produit direct» des deux géométries antérieures: Cest une représentation «euclidienne», à la grecque ! pas de «produit scalaire» Doù le défi de créer implicitement la structure projective.

18 18 Exploitation du polyèdre? Dividendes à lhorizon? Opérer sur ce polyèdre par symétrie, réflexion équatoriale, rotations, … ne s'avère pas très productif Considérons plutôt le développement du polyèdre Est-il possible, d'extraire une collection de quatre- vingt-onze faisceaux constitués chacun de 10 points satisfaisant l'axiome principal de la charte projective c'est-à-dire de s'intercepter mutuellement une seule fois?

19 19 Première prescription de la charte projective: Intersection en 1 seul point

20 20 Souvenir des mini-géométries antérieures Les dimensions, 7 et 13, du tore rappellent les «sélecteurs» des deux géométries antérieures, déterminés par les schémas {0, 1, 3} et {0, 1, 3, 9 }. Ce qui nous entraîne dans la prospection singulière suivante …

21 21 Exploitation de {0, 1, 3, 9} Évocation de {0, 1, 3} Horizontalement Obliquement Seulement 6 points ! …

22 22 Symétrisation Nous nen sommes encore quà 8 il en faut 10! On conçoit qu'une symétrie dans le plan équatorial du polyèdre pourrait être une colinéation

23 23 Prolongeons la série oblique de {0, 1, 3} à {0, 1, 3, 9}

24 24 … captation de ces 10 points à lécran Miracle ???

25 25 Incrédule! Test … La finitude fait qu'une vérification directe est possible et suffit Ce schéma peut être translaté en 91 positions Les 91 faisceaux, dérivés du schéma, ne se recouperont quune et une seule fois. La charte est réalisée!

26 26 Peano

27 27 Tir à larc. Translations dans le champ: Portée verticale: 7 Portée horizontale: 13 Larc dUlysse: traverse tous les 91 points!

28 28 Schéma de génération: ordre doccurrence = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81} Transition vers une «géométrie du disque»

29 29 Géométrie de la table ronde Hommage à Peano Relation dincidence dans = =[0,91] x + X où est le schéma de sélection: = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81}

30 30 La géométrie du disque est-elle équivalente à (K 3 / )* ? Comment savoir? En jumelant le disque avec une courbe de Peano dans (K 3 / )* Prochain défi: Obtenir une orbite universelle dans (K 3 / )*

31 31 N.B. Porter la dernière diapo dans S12

32 32 Orbite universelle dans (K 3 / )* On découvre que les droites de (K 3 / )* suivent le même schéma générateur


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