Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre

Présentation au sujet: "Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre"— Transcription de la présentation:

1 Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre
Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège Saint-Michel 2010

2 Plan de la présentation
Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n impair Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n pair n multiple de 4 n non-multiple de 4 Utilités et applications

3 Euler et les 36 officiers 1782 Leonhard Euler
6 régiments, 6 grades, 36 officiers Carré gréco-latin d’ordre 6 Impossibilité démontrée par Tarry

4 Les carrés latins Carré d’ordre n n éléments différents Ici, n=5
5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents 5 lignes Ici, n=5

5 Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents
5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

6 Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents
5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

7 Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents
5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

8 1 2 3 4 5

9 Carrés latins orthogonaux
Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.

10 Exemple de 2 carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

11 Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5 A B C D E

12 Sans la méthode des diagonales opposées
1 2 3 4 5 A B C D E

13 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E

14 Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5 A B C D E

15 Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E

16 Création d’un carré gréco-latin pair
n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4

17 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés

18

19 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

20 A B C D

21 A B C D E F G H

22 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres

23 A 1 B 2 C 3 D 4 E F G H 7 8 5 6

24 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

25 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés

26 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

27 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré

28 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

29 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

30 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

31 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

32 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré Terminer le carré à la manière d’un sudoku

33 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

34 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

35 n pair non-multiple de 4

36 1ère étape : Les groupes Majeurs Mineurs Type 1 A, B, C, D, E, F, G
H, I, J Type 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10

37 2ème étape : Les zones

38 3ème étape : Le remplissage
1. La zone des mineurs : 8 9 10 H I J

39 2. La zone mixte : Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1. Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases. Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs

40 H I J 5 2 3 6 4 7 1

41 8 10 9 G D F A E B C

42 On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2. A H I G J D F B E C 1 5 2 8 3 10 9 6 4 7

43 3. La zone des majeurs : Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale. E B C F D G A 4 7 6 5 1 2 3 E F G A B C D 2 3 4 5 6 7 1

44

45 Comment choisir les mineurs?
Généralisation: pour n’importe quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:

46 Utilités et applications
Médecine Agronomie Organisation de tournois …

47 Exemple d’application

48 Merci pour votre écoute!