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Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.

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1 Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège Saint-Michel 2010

2 Plan de la présentation Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation dun carré gréco-latin dordre n impair Formation dun carré gréco-latin dordre n pair n multiple de 4 n non-multiple de 4 Utilités et applications

3 Euler et les 36 officiers 1782 Leonhard Euler 6 régiments, 6 grades, 36 officiers Carré gréco-latin dordre 6 Impossibilité démontrée par Tarry

4 Les carrés latins Carré dordre n n éléments différents 5 colonnes 5 lignes Ici, n=5

5 Les carrés latins Carré dordre n n éléments différents colonnes 5 lignes Ici, n=5

6 Les carrés latins Carré dordre n n éléments différents Chaque élément napparaît quune fois par ligne et par colonne colonnes 5 lignes Ici, n=5

7 Les carrés latins Carré dordre n n éléments différents Chaque élément napparaît quune fois par ligne et par colonne colonnes 5 lignes Ici, n=5

8

9 Carrés latins orthogonaux Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.

10 Exemple de 2 carrés latins orthogonaux

11 Création dun carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux ABCDE EABCD DEABC CDEAB BCDEA

12 Sans la méthode des diagonales opposées ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD

13 1A1A 2B2B 3C3C 4D4D 5E5E 2B2B 3C3C 4D4D 5E5E 1A1A 3C3C 4D4D 5E5E 1A1A 2B2B 4D4D 5E5E 1A1A 2B2B 3C3C 5E5E 1A1A 2B2B 3C3C 4D4D

14 Création dun carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux ABCDE EABCD DEABC CDEAB BCDEA

15 Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux 1A1A 2B2B 3C3C 4D4D 5E5E 2E2E 3A3A 4B4B 5C5C 1D1D 3D3D 4E4E 5A5A 1B1B 2C2C 4C4C 5D5D 1E1E 2A2A 3B3B 5B5B 1C1C 2D2D 3E3E 4A4A

16 Création dun carré gréco-latin pair n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4

17 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés

18

19 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

20 ABCD BADC CDAB DCBA ABCD BADC CDAB DCBA

21 ABCDEFGH BADCFEHG CDABGHEF DCBAHGFE EFGHABCD FEHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

22 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres

23 A1A1 B 2B 2 C3C3 D4D4 EFGH B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 FEHG C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 GHEF D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 HGFE EFGHABCD FEHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

24 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 EFGHABCD FEHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

25 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés

26 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 EFGHABCD FEHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

27 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage dun mini-carré

28 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 FGHABCD FEHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

29 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 FGHABCD F5F5 EHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

30 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 F7F7 GHABCD F5F5 EHGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

31 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 F7F7 GHABCD F5F5 E6E6 HGBADC GHEFCDAB HGFEDCBA

32 n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage dun mini-carré Terminer le carré à la manière dun sudoku

33 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 F7F7 G6G6 H5H5 A4A4 B3B3 C2C2 D1D1 F5F5 E6E6 H7H7 G8G8 B1B1 A2A2 D3D3 C4C4 G2G2 H1H1 E4E4 F3F3 C6C6 D5D5 A8A8 B7B7 H3H3 G4G4 F1F1 E2E2 D7D7 C8C8 B5B5 A6A6

34 A1A1 B 2 C3C3 D4D4 E5E5 F6F6 G7G7 H8H8 B4B4 A3A3 D2D2 C1C1 F8F8 E7E7 H6H6 G5G5 C7C7 D8D8 A5A5 B6B6 G3G3 H4H4 E1E1 F2F2 D6D6 C5C5 B8B8 A7A7 H2H2 G1G1 F4F4 E3E3 E8E8 F7F7 G6G6 H5H5 A4A4 B3B3 C2C2 D1D1 F5F5 E6E6 H7H7 G8G8 B1B1 A2A2 D3D3 C4C4 G2G2 H1H1 E4E4 F3F3 C6C6 D5D5 A8A8 B7B7 H3H3 G4G4 F1F1 E2E2 D7D7 C8C8 B5B5 A6A6

35 n pair non-multiple de 4

36 1ère étape : Les groupes MajeursMineurs Type 1A, B, C, D, E, F, GH, I, J Type 21, 2, 3, 4, 5, 6, 78, 9, 10

37 2ème étape : Les zones

38 3ème étape : Le remplissage La zone des mineurs : HIJ JHI IJH

39 2. La zone mixte : Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1. Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases. Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs

40 HIJ HIJ HIJ JHI JHI IJH HIJ

41 GDF GAE FAB GBC DAC EBD FCE

42 On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2. AHIGJDF GBHIAJE FACHIBJ JGBDHIC DJACEHI IEJBDFH HIFJCEG

43 3. La zone des majeurs : Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale. EBC FCD GDE AEF BFG CGA DAB EFGABCD BCDEFGA CDEFGAB

44

45 Comment choisir les mineurs? Généralisation: pour nimporte quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:

46 Utilités et applications Médecine Agronomie Organisation de tournois …

47 Exemple dapplication

48 Merci pour votre écoute!


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