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Propriétés des ordonnancements SPT Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université dEvry ROADEF 2005.

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1 Propriétés des ordonnancements SPT Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université dEvry ROADEF 2005

2 0rdonnancements (rappel) Exemple: Principaux critères de qualité: Temps de terminaison max (Makespan) Somme des temps de terminaison ( Cj ) P1 P2 P3 n tâches m machines

3 Les ordonnancements SPT SPT= Shortest Processing Time first Règle de Smith: SPT glouton –Trier les tâches par ordre croissant –Les ordonnancer dès quune machine est libre. Algo qui minimise Cj. Classe des ordos. qui minimisent Cj : [Bruno et al]: Algorithms for minimizing mean flow time

4 [Bruno et al]: notion de rang. Un ordo. minimise Cj ssi cest un ordo. SPT Les ordonnancements SPT

5 Plan On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: Max Cj. –Problème NP-complet –Analyse de SPT glouton Critères dinsatisfaction des tâches: –Critère dinsatisfaction globale –Critère dinsatisfaction individuelle Conclusion

6 Max Cj Minimiser Max Cj Minimiser Cj Max Cj = 7 Max Cj = 6 Cj = 10 Cj = 11 Problème NP-complet

7 Minimiser Max Cj est NP-complet On réduit le pb de la partition au pb Min. Max Cj. –Partition: Soit un ens. de nb C={ x1, x2,..., xn }. Existe-t-il une partition (A,B) de C t.q x A x = x B x ? –Min. Max Cj: Soit un nombre k. Existe-il un ordo. tel que Max Cj= k ?

8 Minimiser Max Cj est NP-complet Transformation: –Partition: C={x1, x2,...,xn} –Max Cj: k= ½ Min Cj ; m=2; 2n tâches:

9 Minimiser Max Cj est NP-complet tâches ce long. rang ce contrib Cj Solution Partition solution Max Cj : –Partition: C={x1, x2,...,xn}. –Max Cj: k= ½ Min Cj ; m=2; 2n tâches.

10 Max Cj : analyse de SPT glouton Théorème 1 : –Le rapport dapproximation de SPT glouton est 3 – 3/m + 1/m 2. Théorème 2 : –Le rapport dapproximation de SPT glouton est 2 – 2/(m 2 + m).

11 Max Cj : analyse de SPT glouton Théorème 2 : –Le rapport dapproximation de SPT glouton est 2 – 2/(m 2 + m). ( exemple: pour m=3, rapport 11/6 ) Preuve: –m(m-1) tâches de longueur 1 –Une tâche de longueur B= m(m+1)/2 –Exemple pour m=3: Max Cj = 11 Max Cj = 6

12 On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: Max Cj. –Problème NP-complet –Analyse de SPT glouton Critères dinsatisfaction des tâches: –Critère dinsatisfaction globale –Critère dinsatisfaction individuelle Conclusion Plan

13 Critère dinsatisfaction globale [Kumar, Kleinberg]: Fairness Measures For Ressources Allocation (FOCS 2000) Définition: in satisfaction globale dun ordo. S: –Rapport max. entre date de fin de la i ème tâche de S, et date de fin min de la i ème date de fin de tout autre ordo. –C glob (X) = min t.q. X Y Y V(I) –C* glob (I) = min C glob (X) t.q. X V(I) –C* glob = max C* glob (I)

14 Critère dinsatisfaction globale Exemple: Vecteur X = (1, 2, 4) Autres vecteurs: V(I) = X + (1, 2, 5) (1, 3, 3) (1, 3, 5) (2, 3, 3) (2, 3, 4) (1, 3, 6) (1, 4, 6) (2, 3, 6) (2, 5, 6) (3, 4, 6) (3, 5, 6) Min = (1, 2, 3) C glob (X) = 4/3 C* glob (I) = 4/3 I={,, }

15 Critère dinsatisfaction globale Théorème 1: –C glob (X SPTglouton ) 2 – 1/m. ( exemple: pour m=2, C glob (X SPTglouton ) 3 / 2 ) Théorème 2: –C* glob = 3/2 quand m=2. Preuve du théorème 2: Vecteur X = (1, 1, 3) C glob (I) = C* glob = 3/2

16 Critère dinsatisfaction individuelle Définition: in satisfaction ind. dun ordo. S: –Rapport max. entre date de fin de chaque tâche de S, et date de fin min de cette tâche dans tout autre ordo. –C ind (X) = min t.q. X Y Y V(I) –C* ind (I) = min C ind (X) t.q. X V(I) –C* ind = max C* ind (I) Exemple: Vecteur X = (3, 2, 3)

17 Critère dinsatisfaction individuelle Théorème : –C ind (X SPTglouton ) 1 + (n-1)/m. –C* ind = 1 + (n-1)/m. Preuve de C* ind = 1 + (n-1)/m : –exemple avec (m+1) tâches de longueur 1: C* ind = 2 = 1 + (n-1)/m

18 Conclusion - Perspectives Conclusion –SPT glouton entre 2 – 2/(m 2 + m) et 3 – 3/m + 1/m 2 pour Max Cj. –Bons rapports dinsatisfaction. Perspectives –Améliorer la borne pour SPT glouton dans Max Cj. –Etudier les critères dinsatisfaction sur dautres ordonnancements.


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