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Problèmes à machines parallèles avec serveur Samuel Guirchoun.

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1 Problèmes à machines parallèles avec serveur Samuel Guirchoun

2 2 Plan Présentation Définitions et Objectifs Etude de cas Algorithme Présentation et optimalité Conclusion et perspectives

3 3 Introduction Serveur Salle Réseau Application répartie ModulesModules terminés M machines identiques Bus

4 4 Introduction Nous nous intéressons : aux problèmes dordonnancement de processus distants dans les systèmes informatiques En particulier : Un réseau LAN constitué de plusieurs machines clientes et un serveur Lien atelier-informatique : Existe-t-il des modèles dordonnancement de problèmes datelier utilisables pour les problèmes client-serveur?

5 5 Le problème Hypothèses Machines distantes identiques Temps de communication/transport négligeables Pas dinterruption des processus (pas de préemption possible) Chaque processus est chargé par le serveur/robot sur une machine qui lexécute (deux opérations par tâche) Chargement du processus immédiatement suivi de son exécution (contrainte no-wait) Critère Minimiser loccupation des machines distantes : C i

6 6 Le problème AtelierRéseau LAN Serveur Deux classes de problèmes abordées : Les problèmes à machines parallèles avec serveur notés P,S (Hall et al., PMS 1996) Les flow shop hybrides : notés FH2 (Vignier et al., 1999)

7 7 Etat de lart : PS C. P. Koulamas (1996) P2,S1||Cmax Beam Search S. A. Kravchenko et F. Werner (1997), N. G. Hall et al. (1996), P. Brucker et al. (2002) Résultats de complexité : s i =s, p i =p et/ou r i Glass et al. (2000) travaux dédiés Kravchenko et Werner (2001) Heuristique : s i =1 et C i Abdekhodaee et Wirth (2002) Heuristiques : s i +p i =s+p et C i

8 8 Définition des problèmes P,S Problèmes à machines parallèles avec serveur : M machines parallèles identiques et un serveur noté S n travaux avec des temps dexécution p i Chargement, durée s i, est réalisé par le serveur s i est immédiatement suivi de p i pour tout i (no-wait) M et S ne peuvent réaliser quune opération à la fois Chargement s i possible si S et une des machines M sont disponibles (multiressource) Environnements de production Informatique : pas de Multiressource s1s1 p4p4 s5s5 s4s4 s2s2 s3s3 p1p1 p5p5 p2p2 p3p3 S M1M1 M2M2

9 9 Etat de lart : FH Gupta (1988) fortement NP-difficiles Hoogeveen et al. (1996) même pour les version préemptives Vignier et al. (1999), Linn et Zhang (1999) état de lart sur les problèmes de flow shop hybrides Pinedo (1995) solution optimale avec la règle SPT (Shortest Processing Time) pour C i avec : toutes les opérations dun même travail ont la même durée. résultat non valide avec le no-wait.

10 10 Définition des problèmes FH Problèmes de type Flow shop hybride : 1 machine au premier étage (le serveur) M machines parallèles identiques au deuxième étage n travaux avec deux opérations o i,1 et o i,2 de durée dexécution p i,1 et p i,2. o i,1 est exécutée au premier étage et o i,2 au deuxième o i,1 est immédiatement suivie de o i,2 (no-wait) Toutes les machines ne peuvent exécuter quune opération à la fois Ces problèmes FH sont connus pour être NP-difficiles. p 1,1 p 4,2 p 5,1 p 4,1 p 2,1 p 3,1 p 1,2 p 5,2 p 2,2 p 3,2 M 1,1 M 2,1 M 2,2

11 11 Exemple Diagramme de Gantt P,S Diagramme de Gantt FH Serveur p 1,1 p 4,2 p 5,1 p 4,1 p 2,1 p 3,1 p 1,2 p 5,2 p 2,2 p 3,2 M 1,1 M 2,1 M 2,2 s1s1 p4p4 s5s5 s4s4 s2s2 s3s3 p1p1 p5p5 p2p2 p3p3 S M1M1 M2M2

12 12 Reduction Réduction : FH2,(1,P)|p i,1 =s, no-wait| C i se réduit au problème P,S1|s i =s| C i (Guirchoun et al., 2003) P2,S1|s i =1| C i O(nlog(n)) Pm,S1|s i =1| C i O(nlog(n)) p i m-2 P,S1|s i =1| C i NP-difficile P2,S1|s i =s| C i NP-difficile P,S1|p i =1, s i =s| C i O(n) FH2,(1,P2)|p i,1 =1, no-wait| Ci ? FH2,(1,Pm)|p i,1 =1, no-wait| Ci ? FH2,(1,P)|p i,1 =1, no-wait| Ci NP-difficile FH2,(1,P2)|p i,1 =s, no-wait| Ci NP-difficile FH2,(1,P)|p i,1 =s, p i,2 =1, no-wait| Ci? O(n)

13 13 Plusieurs cas ! SPT/FAM optimal pour P2|| C i Trois cas pour FH2,(1,P2)|p i,1 =1, no-wait| C i : Lorsque p i,2 2 pour tout travail i Lorsque p i,2 >2 pour tout travail i Algorithme pour p i,2 >0 pour tout travail i

14 14 p i,2 2 pour tout i Théorème : Tout ordonnancement semi-actif est une solution optimale pour le problème FH2,(1,P2)|p i,1 =1, p i,2 2, no-wait| C i. Preuve : C i =C i,1 +p i,2 1 machine toujours disponible au deuxième étage C i = C i,1 + p i,2 p i,2 = K1 et C i,1 = n(n+1)/2 =K2 C i = K Exemple : ip i,1 p i,2 111/ C i = 67/ M 1,1 M 2,1 M 2,2 t 1 =1t 2 =2 2

15 15 p i,2 >2 pour tout i Théorème : SPT/FAM donne une solution optimale pour le problème FH2,(1,P2)|p i,1 =1, p i,2 >2, no-wait| C i en O(n log(n)). Démonstration SPT/FAM les C i de deux travaux consécutifs ne coïncident jamais Pas de temps morts sur M 2,1 et M 2,2 (sauf [0,t 1 ] sur M 2,1 et [0,t 2 ] sur M 2,1 ) On se ramène au problème Pm|| C i pour lequel SPT/FAM donne loptimal (Kaspi et Montreuil, 1988) Exemple : ip i,1 p i, M 1,1 M 2,1 M 2,2 t1t1 t2t2 C i =33 2

16 16 p i,2 quelconques SPT ne donne pas une solution optimale pour le problème FH2,(1,P2)|p i,1 =1,no-wait| C i Contre exemple ip i,1 p i, C i = C i =39 M 1,1 M 2,1 M 2,2 M 1,1 M 2,1 M 2,2

17 17 Algorithme en O(n log(n)): 1 =1, 2 =2 Déterminer A={ i | p i,2 =1} et B={ i | p i,2 2} Tant que A B Soit M k,2 la machine telle que k =min{ k | k = 1, 2} Si (B = ou i compatible de A alors) Placer lopération o i,2 sur M k,2 A A \ {i} et k = k + p i,2 Sinon Placer lopération o i,2 de B de plus petit p i,2 sur M k,2 B B \ {i} et k = k + p i,2 Fin si Fin tant que p i,2 >0 m-1 Algorithme en O(n log(n)): 1 =1, 2 =2,…, m =m Déterminer A={ i | p i,2 =m-1} et B={ i | p i,2 m} Tant que A B Soit M k,2 la machine telle que k =min{ k | k = 1, …, m} Si (B = ou i compatible de A alors) Placer lopération o i,2 sur M k,2 A A \ {i} et k = k + p i,2 Sinon Placer lopération o i,2 de B de plus petit p i,2 sur M k,2 B B \ {i} et k = k + p i,2 Fin si Fin tant que

18 18 Exemple 1 2 M 1,1 M 2,2 M 2,3 M 2,1 i p i, p i, C i =88

19 19 Lemme Pour tout ordonnancement : k, m k n : où p [i],2 correspond au travail de date de fin C [i] et où C [1] C [2] … C [n] Démonstration par récurrence

20 20 Optimalité de lAlgorithme Deux sous ensembles : 1 =A B 1 sous ensemble des travaux ordonnancés jusquau dernier travail appartenant à A={ i | p i,2 =m-1} 2 =B 2 sous ensemble des travaux ordonnancés restant Avec B=B 1 B 2 M 1,1 M 2,2 M 2,3 M 2, =A B 1 2 =B 2

21 21 Optimalité de lAlgorithme Principe : Tant que A : Pas de temps mort au premier étage C i,1 = p i,1 = cste s =i, 1 =i+1, 2 =i+2, …, m-1 =i+m-1, m i+m C i ( 1 ) est minimale Lorsque A = : SPT sur les travaux restants de B : C i ( 2 ) est minimale Avec le Lemme On montre que la partition est bonne C i = C i ( 1 )+ C i ( 2 ) est minimale

22 22 Reduction P2,S1|s i =1| C i O(nlog(n)) FH2,(1,P2)|p i,1 =1, no-wait| C i O(nlog(n)) Pm,S1|s i =1| C i O(nlog(n)) p i m-2 FH2,(1,Pm)|p i,1 =1, no-wait| C i O(nlog(n)) p i,2 m-1 P,S1|s i =1| C i NP-difficile FH2,(1,P)|p i,1 =1, no-wait| C i NP-difficile P2,S1|s i =s| C i NP-difficile FH2,(1,P2)|p i,1 =p, no-wait| C i NP-difficile P,S1|s i =s, p i =1| C i O(n) FH2,(1,P)|p i,1 =s, p i,2 =1, no-wait| C i O(n)

23 23 Conclusion Algorithme en O(n log(n)) pour résoudre FH2,(1,Pm)|p i,1 =1, p i,2 m-1, no-wait| C i Les problèmes PS et FH2 avec nowait sont très voisins Contrainte de multiressource Ces deux modèles sont proches dun réseau LAN Réseau simplifié

24 24 Perspectives Modification de lalgorithme pour quil soit optimal dans le cas des p i,2 quelconques Ou tester ses performances en tant quHeuristique Etendre la réduction à dautres critères : Cmax,… Se rapprocher dun réseau informatique : En supprimant le no-wait En incluant des temps de communication En ajoutant les contraintes de précédence En autorisant la préemption (systèmes multitâches) … Dautres modélisations: Environnement client-serveur : Blazewizc et al.(1996), mémoire tampon et recirculation « Multiprocessor tasks »


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