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Solitaire Clobber 2… et les multipartis complets E. Duchêne, S. Gravier ERTé « Maths à modeler », Grenoble, FRANCE.

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1 Solitaire Clobber 2… et les multipartis complets E. Duchêne, S. Gravier ERTé « Maths à modeler », Grenoble, FRANCE

2 Solitaire Clobber 2004: Demaine E., Demaine M., Fleischer « Solitaire Clobber », Theor. Comput. Sci : D., Gravier, Faria « Solitaire Clobber played on graphs», submitted in Theor. Comput. Sci. Des pierres noires et blanches sur les sommets dun graphe (une par sommet) Un seul joueur Coup: choisir une pierre et « manger » une pierre adjacente de couleur différente Objectif: minimiser le nombre de pierres restantes. 2 Valeur de réductibilité (dune configuration) : nombre min. de pierres restantes. C est k-réductible : il existe une suite de coups qui laisse au plus k pierres.

3 Complexité du problème INSTANCE: Un graphe G avec une pierre (noire ou blanche) sur chaque sommet. Un entier positif k. QUESTION: Cette configuration est-elle k-réductible ? Réduction à Hamiltonian path pour k=1 NP-complet en général Preuve: Hamiltonian path ? 1-reducible ?

4 Une famille plus « facile »: les bipartis PATHSTREESHYPERCUBESGRIDS

5 La Clé (sur les bipartis uniquement) Un invariant défini par Demaine et al. Noir Blanc δ = nombre de pierres + nombre de pierres « en opposition ». 8 4 (3+1) δ (mod 3) est un invariant du jeu. Condition nécessaire pour quune configuration soit 1-réductible: δ mod 3 0. Preuve: δ= 1 ou 2 à la fin

6 Sur les grilles…

7 Une autre utilisation de la clé : SUR LES BIPARTIS COMPLETS

8 Cas 1: K m,m « bien coloré » m m δ = 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. m 1 (mod 3) m 1 (mod 3) : 1-réductible

9 Cas 1: K m,m « bien coloré » m m δ = 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. m 2 (mod 3) m 1 (mod 3) : 1-réductible m 2 (mod 3) : 1-réductible

10 Cas 1: K m,m « bien coloré » m m m 0 (mod 3) m 2 (mod 3) : 1-réductible m 0 (mod 3) : 2-réductible δ = 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. m 1 (mod 3) : 1-réductible

11 Cas 2: K m,m m m δ = 2L 1 +3L 2 +4L 3 0 (mod 3) ssi L 1 mod 3 = L 3 mod 3 L1L1 L2L2 L3L3 si L 1 mod 3 L 3 mod 3, alors C est 1-réductible. si L 1 mod 3 = L 3 mod 3, alors C est 2-réductible.

12 Cas 3: K n,m (n>m) n m 1 Ordonner le stable 1 avec des paires « blanc-noir » 2 Egaliser les tailles des stables (si possible) en jouant des paires « blanc-noir » 1 ou 2-réductible selon δ

13 n m 3) Et sil ny a pas assez de paires « blanc-noir » ? L1L1 L2L2 m mbmb 4) Si L 2 m b -1…

14 n m L1L1 L2L2 m mbmb Valeur de réductibilité = L 2 -m b +2 La clé : f(C)= L 2 -m b ne décroit jamais au cours du jeu

15 Des bipartis… aux p-partis complets

16 Sur les p-partis complets (p>2) Linvariant δ nest plus disponible… M1 M2 M3 M1, M2, M3…sont les stables de taille maximum.

17 Sur les p-partis complets (p>2) Théorème: sil y a plusieurs stables de taille maximum, alors toute configuration de jeu est 1-réductible. Sinon… L1L1 m pierres q M1 et on raisonne comme sur les bipartis complets entre M1 et G\M1.

18 Conclusion Sur les bipartis, on a des résultats (cycles, arbres, hypercubes…) Sur les non bipartis, les résultats sont rares… Invariant général ?


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