Comparaison de deux algorithmes d’approximation

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1 Comparaison de deux algorithmes d’approximation
François Delbot et Christian Laforest (Equipe OPAL) Motivations De nombreux algorithmes d’approximation ont été proposés pour trouver des solutions approchées pour des problèmes d’optimisation combinatoire. Cependant un rapport d’approximation peut ne pas refléter les performances réelles de ces algorithmes. Notre but principal est de mieux comprendre les forces et les faiblesses de ces algorithmes d’approximation. Pour cela, nous avons étudié les performances théoriques et expérimentales de deux algorithmes d’approximation pour le problème du vertex cover: Edge Deletion (ED) et Maximum Degree Greedy (MDG). Le problème du vertex cover Il s’agit de trouver un ensemble de sommets de taille minimal tel que chaque arete possède au moins une extrémité dans cet ensemble. Deux algorithmes pour le problème du vertex cover Cet algorithme est ln(Δ)-approché (Δ le degré maximum du graphe) Algorithme Maximum Degree Greedy (MDG) Algorithme Edge Deletion (ED) Cet algorithme est 2-approché Exemple de graphe atteignant le rapport d’approximation (en ordre de grandeur) : les graphes de Papadimitriou tronqués Exemples de graphes atteignant le rapport d’approximation Première conclusion : ED est plus performant que MDG. Généralement, ED est préféré à MDG. Résultats théoriques Un algorithme peut être meilleur que ne le laisse supposer son rapport d’approximation : MDG est toujours meilleur que ED sur les graphes : MDG n’est pas plus mauvais que ED : Bipartis complets Bipartis avec degrés partitionnés Chemins Arbres(k,n) Arbres contraints Admettant un couplage parfait Bipartis réguliers Arbres Graphe en étoile Solution retournée par MDG Rapport d’approximation: 2,717 Solution de taille |OPT| G=(X,Y,E). Le degré maximum de X est inférieur au degré minimum de Y Solution retournée par ED Solution de taille 2|OPT| ED est toujours meilleur que MDG : Pas de sommets de degré 2. Deux sommets voisins d’une feuille ne peuvent être voisins Graphes de Papadimitriou tronqués Résultats expérimentaux Outil d’expérimentation Bilan Le rapport d’approximation ne permet pas de dire a priori si un algorithme sera plus efficace qu’un autre. MDG est, globalement, bien plus performant que ED. Perspectives Une étape de pré calcul pourrait permettre de rendre MDG plus efficace Obtenir des résultats théoriques plus généraux Comparer de nouveaux algorithmes Classifier les algorithmes en fonction de leurs performances pour différentes classes de graphes Déterminer quel type d’algorithme est efficace sur quel classe de graphe MDG domine expérimentalement ED pour tous les graphes Étudiés Sauf les graphes de Papadimitriou tronqués ED domine expérimentalement MDG pour les graphes de Papadimitriou tronqués C E N T R E N A T I O N A L D E L A R E C H E R C H E S C I E N T I F I Q U E Informatique, Biologie Intégrative et Systèmes Complexes (IBISC) FRE CNRS 2873 Université Evry-val d'Essonne - 523, Place des Terrasses, Evry Exemple de résultat produit par notre outil pour un hypercube de dimension 8