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Lundi 4 octobre 2010 Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover François Delbot Laboratoire dAnalyse, Topologie, Probabilités (CNRS.

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1 Lundi 4 octobre 2010 Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover François Delbot Laboratoire dAnalyse, Topologie, Probabilités (CNRS - UMR 6632) Université d'Aix-Marseille 1 Post-doctorat financé par l'ANR Boole Thèse préparée au laboratoire IBISC de luniversité dÉvry Val dEssonne Journées Graphes et Algorithmes 2010 Travaux réalisés en collaboration avec : Étienne Birmelé (Laboratoire Statistique & Génome, Université dEvry) Christian Laforest (LIMOS, Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand)

2 Introduction Algorithmes exacts Théorie de la complexité –Problèmes polynomiaux (temps raisonnable) –Problèmes NP-complets (temps déraisonnable) Algorithmes dapproximation –Solutions dégradées –Rapport dapproximation en pire cas (rapc) –Objectif : trouver le meilleur rapc Rapc ne prend pas en compte toutes les exécutions possibles 2

3 Présentation du problème Une couvertureUne couverture optimale Un problème NP-complet Le problème du Vertex Cover 3 log( )

4 Un algorithme online OLVC [Demange et Paschos, TCS 2005] Propriété : le VC construit est minimal pour linclusion. Rapport dapproximation en pire cas : (atteint) Modèle on line : Sommets dévoilés un par un. Décision irrévocable pour chaque sommet révélé. Algorithme : u est dévoilé. Si u possède un voisin dévoilé qui nest pas dans la solution, on sélectionne u. Le problème du Vertex Cover 4

5 Lalgorithme online et les étoiles Exécution en pire cas Le sommet central est dévoilé en premier cela concerne (n-1)! ordres de révélation Le sommet central nest pas dévoilé en premier cela concerne (n-1)(n-1)! ordres de révélation Dans les autres cas Considérons le cas des étoiles à n sommets Sous hypothèse déquiprobabilité Probabilité 1/n Probabilité n-1/n Espérance de la taille de la solution retournée: Le problème du Vertex Cover 5

6 Lalgorithme on line est 2-approché en moyenne Théorème Au début, aucun sommet n'est sélectionné. Les sommets sont examinés un par un dans n'importe quel ordre donné. Soit u le sommet courant (celui que l'on examine). Si u n'est pas sélectionné, alors on sélectionne tout son voisinage. Lorsque tous les sommets ont été considérés, on retourne tous les sommets sélectionnés. Algorithme glouton Le problème du Vertex Cover 6

7 Glouton et online retournent la même solution Le premier sommet nest sélectionné par aucun des deux algorithmes. (Hyp.) Les deux algorithmes sélectionnent exactement les mêmes sommets jusqu'au sommet courant u. Le problème du Vertex Cover Par induction : 7 - Glouton sélectionne u u Déjà parcouru/révélé online sélectionne u - Glouton ne sélectionne pas u u online ne sélectionne pas u Pas de voisin parcouru/révélé u Tous les voisins parcourus/révélés sont déjà sélectionnés

8 Démonstration : lalgorithme on line est 2-approché en moyenne Le problème du Vertex Cover 8 Les sommets isolés ninfluencent pas la solution Par induction sur la taille optimale Vrai pour opt(G)=1 (les étoiles) (Hyp.) pour tout G tel que opt(G) k-1, Soit G un graphe tel que opt(G)=k et une partition (H,I) de G : OPT V/OPT H I est une couverture de Nous pouvons donc appliquer (Hyp.) sur

9 Démonstration : lalgorithme on line est 2-approché en moyenne Le problème du Vertex Cover 9 0

10 Démonstration : lalgorithme on line est 2-approché en moyenne 10 Le problème du Vertex Cover Ce qui prouve le résultat !

11 Comparaison de deux algorithmes de liste Traite les sommets un par un Ordre fixé à lavance (une liste) Décision irrévocable Algorithme de liste 11 Le problème du Vertex Cover onlinelisteoffline Manipulation/connaissance du graphe

12 Lalgorithme List-Left Algorithme List-Left Avis et Imamura (ORL 2006) : si les listes sont triées par degrés décroissants alors rapc est de. 12 Le problème du Vertex Cover

13 Lalgorithme List-Right Algorithme List-Right Nous avons proposé un autre algorithme de liste (IPL 2008): 13 Fait exactement les mêmes choix que lalgorithme online lorsquils considèrent les sommets dans le même ordre. Le problème du Vertex Cover

14 ListRight est meilleur que ListLeft Pour toute liste, ListRight retourne une solution dont la taille est inférieure ou égale à celle retournée par ListLeft. 14 Théorème Le problème du Vertex Cover Démonstration en considérant une partition des sommets dune liste : Aucun des deux algorithmes ne retourne de sommet isolé : 4 Aucun des deux algorithmes ne retourne de sommet ne possédant que des voisins à gauche dans la liste : 3 et 6 ListLeft retourne tous les sommets possédant au moins un voisin à droite : 5, 1 et 2 Ce nest pas le cas de ListRight qui ne retourne pas le sommet 1 Théorème entier d>2, un graphe G tel que pour nimporte quelle liste triée : ListRight retourne OPT. ListLeft retourne une solution de taille |OPT|.

15 Lalgorithme on line est un très bon algorithme ! 15 Il retourne des solutions minimales pour linclusion Il peut toujours retourner une solution optimale Il possède de bonnes performances en moyenne Il est toujours meilleur que certains algorithmes (par exemple ListLeft) On peut facilement le répartir Lalgorithme online (et glouton et ListRight) possède un mauvais rapport dapproximation en pire cas, mais : Comment se comportent les autres algorithmes ? Le problème du Vertex Cover

16 Présentation des algorithmes 16 Le problème du Vertex Cover AlgorithmeRapport dapproximation en pire casClassement ED 21 MDG log( ) 2 ListRight 3 ListLeft Au moins au plus +1 4 AlgorithmeRapport dapproximation en pire cas ED 2 MDG log( ) ListRight AlgorithmeRapport dapproximation en pire cas AlgorithmeRapport dapproximation en pire cas ED 2 MDG log( ) AlgorithmeRapport dapproximation en pire cas ED 2 AlgorithmeRapport dapproximation en pire cas

17 Calcul de lespérance de différents algorithmes sur les chemins Exemple de lemme k-1 k k+1 n-1n En passant par les séries génératrices, on peut les dérécursiver et obtenir une formule close : Lorsquon retire un sommet du chemin, on obtient deux autres chemins : Le problème du Vertex Cover k-1 k+1 n-1n 17

18 Bilan des performances des différents algorithmes sur les chemins 18 Limites atteintes dès la centaine de sommets. Les algorithmes ayant le meilleur rapport dapproximation en pire cas obtiennent les plus mauvaises performances en moyenne. Remarque : Worst(MDG(Pn)) < Best(ED(Pn)) Le problème du Vertex Cover AlgorithmeLimite de lespérance du rapport dapproximation Classement En moyenne En pire cas GIC1 12 MDG1+e ListRight1+e ListLeft4/ AlgorithmeLimite de lespérance du rapport dapproximation MDG1+e ListRight1+e ListLeft4/ ED2-2e

19 Graphes de Erdös-Renyi 19 Le problème du Vertex Cover

20 Conclusion / Perspectives Conjecture Poursuivre ces travaux en considérant que tous les choix ne sont pas équiprobables Comparer des classes dalgorithmes Passer à dautres problèmes, notamment le problème de lensemble dominant 20 Le problème du Vertex Cover Confirmer nos résultats expérimentaux par des résultats théoriques. Notamment, prouver la conjecture suivante : Evaluation en pire cas : insuffisante Linfluence du non déterminisme est importante Online possède de bonnes performances moyennes Les algorithmes 2-approchés se comportent mal « globalement »

21 Lundi 4 octobre 2010 Je vous remercie de votre attention. Cest terminé !


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