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Equation différentielle Elaboré par M. NUTH Sothan.

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1 Equation différentielle Elaboré par M. NUTH Sothan

2 I. Définition Déf.: F(x, y, y’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée, s’appelle équation différentielle du 1 er ordre. On peut résoudre par rapport y’ : y’=f(x, y) (2) 2 ED1

3 I. Définition… On peut écrire aussi sous forme : Ex.: 3 ED1

4 II. Solution Considérons : y’=f(x, y) (1) Déf.1: La solution de (1) est une fonction y =  (x), x  (a, b) qui vérifie (1). Ex.: y=x 3 est une solution de 4 ED1

5 II. Solution… Déf.2: La solution générale de (1) est une fonction y=  (x, c), x  G et c est une constant, qui vérifie (1) et pour toute condition initiale (x 0, y 0 )  G, il existe uniquement c=c 0 tel que la fonction y=  (x, c 0 ) implique  (x 0, c 0 )=y 0, 5 ED1

6 II. Solution… Déf.3: La solution partielle de (1) est une fonction y=  (x, c 0 ), x  G et c 0 est une constant, qu’on obtient de solution générale en donnant la condition initiale Ex.: y’= 3x 2 La solution générale est y=x 3 + c Avec la CI y(0)=1  c = 1. La solution partielle est y=x ED1

7 III. ED du 1 er ordre à variable séparées 1. L’équation sous forme y’=f 1 (x) f 2 (y) (1) où f 1 (x) et f 2 (y) sont continues est dites Equation Différentielle du 1 er ordre à variables séparées. Du (1), on a : (2) (3) 7 ED1

8 III. ED du 1 er ordre à variables séparées… 2. L’équation sous forme y’=f (ax+by+c), ( b  0 ) (4) En posant u=ax+by+c, (4) devient (1). Ex.: 8 ED1

9 IV. ED du 1 er ordre hormogène 1. L’équation sous forme (1) (2) Ex.1: 9 ED1

10 IV. ED du 1 er ordre hormogène… 2. L’équation sous forme (3) où 10 ED1

11 IV. ED du 1 er ordre hormogène… En posant x=u+ , y=v+ , et en résoudre le système on obtient l’EDH de variable u et v. Si  =0, on pose u=ax+by, on obtient l’ED à variable séparée. 11 ED1

12 IV. ED du 1 er ordre hormogène… Ex.2:a/ b/ c/ 12 ED1

13 V. ED Linéaire du 1 er ordre L’équation sous forme (1) est dite EDL du 1 er ordre. Si f(x)=0 alors, (1) est hormogène, et sinon est non hormogène. 13 ED1

14 V. ED Linéaire du 1 er ordre… Méthode 1: Considérons (2) Trouvons la solution Générale Hormogène : 14 ED1

15 V. ED Linéaire du 1 er ordre… Trouvons la Solution Particulière Non Hormogène : Posons SPNH. En remplaçant dans (1), on trouve C(x) et en on trouve la Solution Générale de (1). Méthode 2 : La Solution Générale de (1) est proposée sous forme y=u(x)v(x). 15 ED1

16 V. ED Linéaire du 1 er ordre… En remplaçant y=u(x)v(x), on obtient : 16 ED1

17 V. ED Linéaire du 1 er ordre… Ex.: a) b) c) 17 ED1

18 VI. ED sous forme différentielle totale L’équation sous forme : (1) est dite ED sous forme différentielle totale si (2) Alors, il existe u(x, y) telle que (3) 18 ED1

19 VI. ED sous forme différentielle totale… En comparant (1) et (3), on a : Pour résoudre (1), on fait l’intégrale Or 19 ED1

20 VI. ED sous forme différentielle totale… Ex.1: a/ b/ c/ d/ 20 ED1

21 VI. ED sous forme différentielle totale… En cas on peut trouver  (x) ou  (y) qui s’appelle facteur intégrant qui vérifie Ex.2: a/ b/ c/ 21 ED1

22 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre 1. Equation de Bernoulli : (1) En divisant (1) par y n, on obtient (2) En posant z=y 1-n, on obtient (3) 22 ED1

23 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… Ex.1: a/ b/ c/ 23 ED1

24 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… 2. Equation sous forme F(x, y, y’)=0 (4) Si (4) est une équation de second degré par rapport y’, et si on obtient deux racines : y’=f 1 (x, y) et y’=f 2 (x, y). (5) Alors, la SG est sous forme :  (x,y,C ) =  1 (x,y,C )  2 (x,y,C ) = 0 (6) En plus, il existe la solution singulière de  (x,y,C ) = 0 et  ’ C (x,y,C ) = 0 (7) 24 ED1

25 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… Ou le résultat d’élimination y’=p de F (x,y,p ) = 0 et F’ p (x,y,p ) = 0 (8) Ex.2: xy’ 2 +2xy’ – y = 0 Posons: y’=p. On obtient xp 2 +2xp – y = 0 25 ED1

26 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… 3. Equation sous forme x =  (y, y’) La SG est sous forme paramètre de système : Analogiquement, pour y =  (x, y’) : La SG est sous forme paramètre de système : 26 ED1

27 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… Ex.3:a/ b/ c/ d/ 27 ED1

28 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… 4. Equation de Clairaut : (9) Pour résoudre on pose y’=p(x), on obtient deux cas de : (10) a) b) 28 ED1

29 VII. Autre type de l’ED de 1 er ordre… 5. Equation de Lagrange : (11) On peut faire la même façon comme au dessus. Ex.4:a/ b/ 29 ED1

30 VIII. Exemple ED1

31 VIII. Exemple… ED1


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