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1. 2 Tableau de bord 3 QCM personnalisés Cette semaine une enquête Pour mieux connaître votre équipement informatique, et votre utilisation du site.

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1 1

2 2 Tableau de bord

3 3 QCM personnalisés

4 Cette semaine une enquête Pour mieux connaître votre équipement informatique, et votre utilisation du site web MathSV

5 5 1 seule fois, svp

6 Primitives – Intégration un dernier exemple La probabilité de rencontre entre deux individus dune même espèce

7 7 Probabilité de se rencontrer au temps t

8 8 Probabilité de se rencontrer entre t 1 et t 2 t1t1 t2t2

9 9

10 10

11 La modélisation Lexemple des tourterelles en Grande Bretagne Lexemple des tourterelles en Grande Bretagne

12 12 Croissance dune population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi lEurope dEst en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 ! On sintéresse à laccrois- sement de la population de ces tourterelles en GB.

13 13 Données de recensement TempsNombre de lieux

14 14 Un autre regard Variation du nombre de lieux : N = N t N = N t

15 15 Un autre regard Laccroissement du nombre de lieux : Laccroissement du nombre de lieux : N = N t N = N t

16 16 Un autre regard Laccroissement du nombre de lieux : Laccroissement du nombre de lieux : N = N t N = N t Dautres hypothèses : Dautres hypothèses : Les individus sont isolés les uns des autres Les individus sont isolés les uns des autres Pas de compétition intra-spécifique Pas de compétition intra-spécifique Ils sont bien représentés par leur moyenne Ils sont bien représentés par leur moyenne Pas de variabilité individuelle Pas de variabilité individuelle

17 17 Équation différentielle Solution Accroissement Accroissement relatif

18 18 Retour sur un autre exemple Lors de ladministration dun médicament par injection intraveineuse, la quantité de médicament dans le sang (QMS) est instantanément maximale, puis décroît… pourquoi ?

19 19 Exemple en pharmacocinétique, la variation de la quantité de médicament dans le sang est proportionnelle à la quantité de médicament dans le sang à linstant t : A chaque instant t, la variation de la quantité de médicament dans le sang est proportionnelle à la quantité de médicament dans le sang à linstant t : Équation différentielle Solution

20 Les équations différentielles

21 21 Un peu dhistoire La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVII ème siècle. La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVII ème siècle. Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral. Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral. Leibniz Newton Leibniz Newton A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine mécanique ou géométrique. A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine mécanique ou géométrique. Ce nest quau XX ème siècle que les équations différentielles trouvent de nombreuses applications dans les Sciences de la Vie Ce nest quau XX ème siècle que les équations différentielles trouvent de nombreuses applications dans les Sciences de la Vie

22 22 Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs y, y, y, …, y (n) dune fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.

23 23 Lexique général Dérivée première Dérivée n ième

24 24 Lexique général Résoudre (intégrer) Résoudre (intégrer) Conditions initiales Conditions initiales Solution particulière Solution particulière Courbe intégrale Courbe intégrale

25 25 Une infinité de solutions y y(x) : notion de primitive y y(x) : notion de primitive Si y(x), alors y(x) + Cste est aussi solution Si y(x), alors y(x) + Cste est aussi solution

26 26 Un exemple trivial On cherche y(x) telle que y (x) = x On cherche y(x) telle que y (x) = x On cherche la primitive de y(x) : On cherche la primitive de y(x) :

27 27 Pour aller plus loin Quelques méthodes types Quelques méthodes types

28 28 Équations Différentielles dordre 1 1. À variables séparables 2. Homogènes 3. Linéaires Sans second membre (SSM) Sans second membre (SSM) Avec second membre (ASM) Avec second membre (ASM) À coefficients constants À coefficients constants Condition initiale : Condition initiale :

29 Prochain RDV Vendredi 01/10 à 8h15 Équations Différentielles Suite et fin ATTENTION, vendredi EVALUATION TD


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