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Licence ST – Biologie Mathématiques pour les Sciences de la Vie Sandrine CHARLES - Dominique MOUCHIROUD Bât. G. Mendel - 1 er étage MathSV

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1 Licence ST – Biologie Mathématiques pour les Sciences de la Vie Sandrine CHARLES - Dominique MOUCHIROUD Bât. G. Mendel - 1 er étage MathSV

2 Pourquoi des Mathématiques en Sciences de la Vie ? Analyser et comprendre des phénomènes biologiques simples Sinterroger(comprendre le problème - se poser des questions) Sinterroger(comprendre le problème - se poser des questions) Formaliser(mettre en équation - mathématiser) Formaliser(mettre en équation - mathématiser) Analyser(étudier des fonctions, faire des simulations) Analyser(étudier des fonctions, faire des simulations) Décrire(utiliser des probabilités - statistiques) Décrire(utiliser des probabilités - statistiques) Interpréter(revenir au problème biologique initial) Interpréter(revenir au problème biologique initial) ÞAcquisition théorique puis pratique doutils méthodologiques

3 Objectifs pédagogiques 1.Acquérir des connaissances Revoir ou découvrir des outils mathématiques de base Revoir ou découvrir des outils mathématiques de base 2.Acquérir des compétences Choisir les outils adaptés à la question biologique, interpréter les résultats Choisir les outils adaptés à la question biologique, interpréter les résultats 3.Apprendre avec des outils multi-media interactifs -Autonomie -Auto-évaluation -Dialogue enseignants / étudiants

4 EE CC Organisation du semestre Section 33 ET janvier 2005 CC Cours magistrauxCM Travaux DirigésTD Travaux TutorésTT ANALYSEPROBABILITES - STATISTIQUES CC

5 Plan du cours (CM) 17/09Étude de fonctions 17/09Étude de fonctions 20/09Fonctions usuelles 20/09Fonctions usuelles 24/09Intégration 24/09Intégration 27/09Équations différentielles – 1 27/09Équations différentielles – 1 01/10Équations différentielles – 2 01/10Équations différentielles – 2 04/10Questions - Réponses 04/10Questions - Réponses

6 Variabilité / Déterminisme Peut-on prédire lévolution au court du temps dun phénomène biologique ?

7 Variabilité / Déterminisme Peut-on prédire lévolution au court du temps dun phénomène biologique ?

8 Étude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer les propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

9 Sur MathSV Trois chapitres : Fonctions – Généralités Fonctions – Généralités Limites – Continuité Limites – Continuité Dérivation – Étude de fonctions Dérivation – Étude de fonctions

10 Définition dune fonction Application dune partie de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR. x : le temps (t), la température (T), le pH, … f : un nombre dorganismes (N), un poids (p), une concentration (C), une intensité (I), …

11 A. Domaine de définition Définitions : D f = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = lensemble des x f (D f ) = Ensemble darrivée (ou ensemble des images) = lensemble des y f

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13 Plan détude dune fonction A.D f B.Symétrie C.Points particuliers D.Limites - Continuité E. Variations : F. Concavité : G. Asymptotes H. Graphe

14 B. Symétrie : paire ou impaire ? Définitions : On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y exemple f(x)=x 2 On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0) exemple f(x)=x 3 x-x

15 C. Points particuliers x = 0 alors f (x) = ? f (x) = 0 alors x = ?

16 D. Limites - Continuité Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Cauchy, 1821

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18 Opérations sur les limites Formes indéterminées

19 D. Limites - Continuité Une fonction est continue en un point x 0 si la limite en ce point existe : Continue en (0,0)Pas continue en (0,0)

20 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur [a;b]

21 E. Variations : dérivée La dérivée de f en x 0 est la variation de f (x) lorsque x sapproche de x 0 Notation :

22 f(x) = |x | Continue en 0 Non dérivable en 0 f(x) = x 2 Dérivable en tout point E. Variations : dérivée

23 Léquation de la tangente

24 E. Variations : dérivée Propriétés : f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] f admet un extremum en x si la dérivée sannule en x f admet un extremum en x si la dérivée sannule en x

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26 F. Convexité : f (x) Définitions : 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)

27 F. Concavité : f (x) Définitions : 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative (le graphe de f est courbé vers le bas)

28 F. Point dinflexion : f (x) Définitions : 3. f a un point dinflexion si la dérivée seconde sannule ET change de signe en ce point.

29 Tableau de variation 1. Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. 2. Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins linfini x f (x) + _

30 Si il y a une asymptote verticale passant par x = x 0 Si il y a une asymptote verticale passant par x = x 0 Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote oblique déquation y = ax+b Si il y a une asymptote oblique déquation y = ax+b Si, alors G. Asymptotes

31 Si la courbe de f sapproche infiniment près dune droite, celle-ci sappelle une asymptote : Asymptote oblique Asymptote verticale G. Asymptotes

32 H. Graphe

33 Exemple biologique i 0 est appelé la Rhéobase Chronotaxie : temps de passage nécessaire pour quun courant électrique dintensité excite le tissu

34 Prochain RDV Lundi 20 septembre 16h

35 Le site web MathSV Visite guidée

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40 Tableau de bord

41 Questionnement : résultats personnalisés

42 Prochain RDV Lundi 20 septembre 16h


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