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Algèbre Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive

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Présentation au sujet: "Algèbre Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive"— Transcription de la présentation:

1 Algèbre Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive

2 Calendrier (sur MathSV) CM TT TD CM TD TT TD Evaluations (QCM) Contrôles Continus (problème)

3 Objectif général du cours Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des problèmes où interviennent des phénomènes biologiques Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

4 Le plan des cours dalgèbre Etude des phénomènes structurés en classes 1.Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population CM 1 2.Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations CM 1-CM 2 3.Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires CM 2- CM3 4.Diagonalisation dune matrice : applications en dynamique de population et en génétique CM 3-CM 4 5.Normes et distances CM 4

5 Les cours de statistiquesPrise de décision sur un phénomène aléatoire Statistiques descriptives Estimation Tests dhypothèses ANOVA Régression linéaire

6 Déterminisme et Hasard Peut-on prédire lévolution au court du temps dune population dorganismes vivants ? La croissance Déterminisme = reproduction, mortalité, etc. Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

7 Déterminisme et Hasard Peut-on prédire lévolution au court du temps dune population ?

8 Déterminisme et Hasard 1. Modèles du hasard Se décider dans une situation où le hasard intervient outils = probabilités et statistiques

9 Déterminisme et Hasard 2. Modèles déterministes Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent Outils : Fonctions et équations différentielles (1ère année) Matrices et systèmes linéaires (2ème année)

10 Pourquoi des modèles en biologie ? Une modèle est une solution à un problème et permet de comprendre une situation biologique Un instrument danalyse : des hypothèses, des mécanismes, des prévisions, un cadre pour faire des expériences

11 1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population

12 Croissance de la population chinoise : modèle exponentiel en temps continu (rappels) 1,28 milliards dhabitants en On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période seront stables; le taux de natalité est de 13 en 2001, tandis que le taux de mortalité est de 3.Nombre dhabitants en 2005 ? Solutionn 0 = 1,28 r = (13-3)/1000 = 0,01 Donc n = 1,33 milliards en (taux daccroissement, r,indépendent de n)

13 Quand les générations ne se recouvrent pas et/ou les naissances arrivent simultanément (ou presque) Papillons, insectes univoltines, plantes annuelles, etc. N t+1 = R N t N t nombre de femelles à la génération t R=sPm s = la sex-ratio (par exemple 0,5) P = la probabilité de survie dune femelle au court dun pas de temps t m = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle (indépendent de N) Modèle exponentiel en temps discret

14 Le modèle exponentiel discret N t+1 = R N t N 1 = R N 0 N 2 = R N 1 = R 2 N 0 … donc N t = R t N 0 R<1 la population décroît R=1 la population reste égale à N 0 R>1 la population croît de façon exponentielle

15 Quand les organismes vivent longtemps et ont une fécondité qui dépend de lâge ou du stade de développement Est-ce que la croissance de la population peut être décrite par un modèle exponentiel ?

16 Modèles structurés par classes Hypothèses : A chaque âge/stade une classe i=1, 2, … Un pas de temps discret t : entre t et t+1 tous les individus de la classe i passent dans la classe i+1 Taux de fécondité et de mortalité indépendants du nombre dindividus présents et de t (mais pas de i)

17 Hirondelle de cheminée Deux classes dindividus : 1 an (fécondité moyenne = 3 juvéniles par femelle) 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle) 20 % des juvéniles atteignent lâge d1 an La survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66 La sex ratio est de 0,5. (MathSV série 3 pb 2)

18 On compte les individus juste après les naissances * Printemps été-automne-hiver Printemps Reproduction Survie Reproduction * 1 an 2 ans ou plus 1 an 2 ans ou plus Juvéniles Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

19 On compte les individus juste après les naissances Juvénile = 0 à 1 an n 0t 1 an = 1 à 2 ans n 1t 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n 2t s = la sex-ratio (0,5) P i = la probabilité de survie dun individu, dans chaque classe i, au court dun pas de temps m i = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle dans chaque classe i sur un pas de temps

20 On compte les individus juste avant les naissances Printemps été-automne-hiver Printemps Reproduction Survie Reproduction * * 1 an 2 ans ou plus 1 an 2 ans ou plus Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

21 On compte les individus juste avant les naissances Juvénile = 0 à 1 an 1 an = 1 à 2 ans n 1t 2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n 2t

22 Vérification : avec n 1 =2 et n 2 =20 individus au temps t=0, on peut suivre la population n 1 +n 2 au court du temps Prédiction : Taux daccroissement de la population >1 donc la population croît exponentiellement

23 Conclusion Une prédiction basée sur une démonstration mathématique plutôt qu un long calcul ou des expériences à long terme impossibles à réaliser Outils : les matrices

24 Objectif dans les exemples en dynamique de population Définir et calculer un taux daccroissement à partir de la matrice M pour connaître le devenir de la population à long terme

25 2.a Les espaces vectoriels MathSV chapitre 1

26 Un vecteur

27 Addition multiplication par un scalaire

28 Des espaces vectoriels 1.Lensemble des vecteurs du plan 2. Lensemble des réels 3.Lensemble des nombres complexes 4.Lensemble des polynômes

29 Un espace vectoriel Définition : Un ensemble déléments (vecteurs) sur lesquels on peut définir deux lois de compositions notées + (addition de deux éléments) et X (multiplication dun élément par un scalaire)

30 Vers la définition dune base dun espace vectoriel …

31 Une combinaison linéaire Les combinaisons linéaires des vecteurs sécrivent où les a i sont des scalaires

32 Une famille génératrice La famille des vecteurs, et est une famille génératrice de IR 3 car tout élément de lespace vectoriel IR 3 peut sécrire comme une combinaison linéaire de cette famille. La famille des vecteurs, et est une autre famille génératrice de IR 3 (démonstration : MathSV « combinaisons linéaires, générateurs »)

33 Une famille libre Une famille de vecteurs dun espace vectoriel E est libre si ses vecteurs sont linéairement indépendants (on ne peut pas écrire lun dentre eux comme une combinaison linéaire des autres).

34 Une base Une famille de vecteurs dun espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre ET génératrice. La famille des vecteurs, et est une base de Base canonique

35 Coordonnées dun vecteur Si on se donne une base et un vecteur alors ce vecteur peut sécrire de façon unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base Les a i sont les coordonnées de ce vecteur dans cette base.

36 Dimension Dimension dun espace vectoriel = nombre de vecteurs dans chaque base

37 2.b Les matrices MathSV chapitre 3

38 Exemples A : matrice de dimension (3,2) Une matrice (n,p) est un tableau contenant des réels avec n lignes et p colonnes Éléments de A Un vecteur colonne dans la base canonique de IR 3 Un vecteur ligne dans la base canonique de IR 2


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