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Cinématique Étude du mouvement dun corps en fonction du temps, indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier. Le mouvement seffectue.

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1 Cinématique Étude du mouvement dun corps en fonction du temps, indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier. Le mouvement seffectue le long dune trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …) Mouvement : modification de la position dun corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel. Trajectoire : lensemble des positions successives du corps dans lespace.

2 Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps. Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme. On distingue : Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). Laccélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie. Mouvement rectiligne varié : laccélération nest pas constante dans le temps. Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change.

3 Notion de référentiel Lensemble repère – horloge constitue un référentiel. Tout observateur est muni dun temps t associé à une horloge et dun espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions. À tout instant t, il existe un point M(t) de lespace E avec lequel coïncide le point matériel à linstant t (point coïncidant). Dans lespace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées) pour définir la position dun point M. La description du mouvement dun point matériel exige de connaître sa position dans lespace à tout instant. Pour cela, nous devons définir : Un repère despace Une horloge

4 Vitesse moyenne : Vitesse instantanée : Cest la limite de cette expression quand lintervalle de temps t tend vers un infiniment petit dt : Mouvement à une dimension Vitesse :

5 Accélération accélération moyenne : La vitesse dun mobile est susceptible de varier, elle peut : Augmenter (accélération positive > 0) Diminuer (accélération négative < 0) si la vitesse est constante, laccélération est nulle Laccélération rend compte de la rapidité avec laquelle la vitesse change. Remarque : si la vitesse et laccélération ont même signe, laccélération est positive, si leurs signes différent, laccélération est négative. accélération instantanée :

6 Équation du mouvement : équation horaire Léquation horaire dun mouvement rectiligne, uniformément accéléré sécrit : Cette équation est obtenue par intégration de la définition de laccélération : doù Puisque est constante, on peut la sortir de lintégrale, K est une constante dintégration que lon détermine à partir des conditions initiales (position et vitesse). En appelant v o la vitesse à linstant t = 0, on a : De même : K est déterminée à partir de la position initiale x o à t = 0 :

7 Systèmes de coordonnées

8

9 Une quantité physique peut être déterminée entièrement : par sa grandeur SCALAIRE cest le cas dun volume, du temps, de la masse, de lénergie.... par sa grandeur et sa direction VECTEUR cest le cas d'un déplacement, dune vitesse, dune accélération, d'une force... O A = vecteur unitaire | | = 1 Rappels sur le calcul vectoriel

10 on peut aussi faire l'addition de façon analytique : en prenant des coordonnées cartésiennes doù : Addition elle est commutative : associative : on peut faire l'addition de deux vecteurs graphiquement : = +

11 O x z y j i k m M

12 = vecteur unitaire (vecteur radial) (cylindriques dans 3D) O M Axe polaire Angle polaire Dans lespace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z : Les 3 coordonnées de M sont alors : Les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques sont :

13 Dérivée dun vecteur tournant par rapport à son angle polaire u urur M Or : Doù : Finalement : x y O i j

14 Avec r = OM toujours positif = (OZ, OM) = (OX, OM) Le vecteur OM est représenté dans la base Le vecteur OM sécrit : Les coordonnées de M sont : Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques de M sont :

15 Le produit scalaire de deux vecteurs (on dit A scalaire B) est la quantité scalaire (un nombre) que lon obtient en multipliant le produit des grandeurs |A| et |B| des deux vecteurs par le cosinus de langle quils forment : et Produit scalaire où Propriétés : La relation constitue un critère dorthogonalité des deux vecteurs. Le produit scalaire de deux vecteurs peut être considéré comme le produit de la grandeur dun des vecteurs par la projection de lautre sur le premier :

16 Le produit scalaire est Expression analytique (en cartésiennes) : distributif par rapport a laddition : commutatif : car

17 Produit vectoriel Sa grandeur est : produit vectoriel (produit extérieur) de deux vecteurs (on dit A vectoriel B, ou A cross B) faisant entre eux un angle orienté est un vecteur perpendiculaire au plan formé par Sa direction est telle que

18 Propriétés La relation constitue un critère de parallélisme de deux vecteurs non nuls. La grandeur du produit vectoriel est égale à la surface du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Le produit vectoriel est anti-commutatif : Expression analytique : distributif par rapport à laddition :

19 Vecteur rotation Pour un mouvement dans un plan, on peut définir un axe perpendiculaire à ce plan. En désignant par k le vecteur unitaire porté par cet axe, on définit le vecteur rotation : Remarque : urur u En tenant compte des propriétés du produit vectoriel et de, nous pouvons écrire : De manière analogue, nous obtenons : -u r

20 Mouvement dans lespace :expression des vecteurs vitesse et accélération dans un référentiel galiléen Cartésiennes : où Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base où Sont les composantes du vecteur accélération dans la base

21 Polaires, cylindriques :

22 Si le mouvement est circulaire (r = constante) et uniforme (vitesse angulaire = constante) Le vecteur accélération sécrit : Laccélération centripète est dirigée vers le centre de la trajectoire

23 La direction de la vitesse est toujours celle de la tangente orientée à la courbe représentative de la trajectoire s : Vitesse le long dune trajectoire : Sur la trajectoire on définit labscisse curviligne s


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